Satulapiste

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Esimerkki satulapisteestä (punaisella): sola vuorten välissä

Matematiikassa satulapisteellä tarkoitetaan funktion määrittelyjoukon pistettä, joka on funktion stationaaripiste, mutta joka ei kuitenkaan ole funktion paikallinen maksimi/minimi. Esimerkki satulapisteestä on esimerkiksi vuorten välissä oleva sola tai kaksiulotteisessa koordinaatistossa toiseen suuntaan nouseva ja toiseen suuntaan laskeva käyrä.

Matemaattinen määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Funktiolla  f(x,y) on satulapiste pisteessä (X,Y) jos:

1. f(x,y)\in C^2

2. f_x = f_y = 0 pisteessä (X,Y)

3. f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2<0 pisteessä (X,Y)

Todistus löytyy lähteenä olevasta Widderin kirjasta.

Määritelmä Hessen matriisin avulla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Reaaliarvoisella funktiolla ƒ on satulapiste, jos funktion Hessen matriisi on positiivisesti definiitti matriisi. Hessen matriisi on reaaliarvoisen funktion toinen derivaatta. Jos matriisin determinantti on negatiivinen, ovat ominaisarvot erimerkkiset ja kyseessä on satulapiste. Jos determinantti on nolla, testi ei kerro mitään kyseisestä pisteestä. Hessen matriisi:

\nabla\,^2\,f\,=\text{H}=\begin{bmatrix}
  \frac{\partial f}{\partial x_1\partial x_1}      & \cdots & \frac{\partial f}{\partial x_1\partial x_n}      \\
  \vdots & \ddots & \vdots \\ 
  \frac{\partial f}{\partial x_n\partial x_1}      & \cdots & \frac{\partial f}{\partial x_n\partial x_n}\end{bmatrix}

Toinen tapa esittää sama asia: Merkitään edellisen matriisin determinanttia tunnuksella D. Funktion f =(x,y) determinantti on


D = f_{xx}f_{yy}-f_{xy}f_{yx} 
=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2


Jos  D<0 , niin kyseinen piste on satulapiste.

Esimerkki[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tarkastellaan funktiota f = x^2-y^2 . Funktion Hessen matriisi stationaaripisteessä (0,0) on \text{H}=\begin{bmatrix}
2 & 0 \\
0 & -2 
\end{bmatrix}

Nyt matriisin H determinantti  D = 2*(-2)=-4<0, joten kyseinen piste (0,0) on satulapiste.

Sovellukset[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Dynaaminen systeemi: Dynaamisessa systeemissä satulapiste on jaksollinen piste, jonka vakaat ja epävakaat monikerrat omaavat nollasta eroavan ulottuvuuden.

Kahden henkilön nollasummapeli: Nashin tasapaino on satulapiste.

Satulapiste on matriisin ominaisuus, joka on samalla suurin elementti sarakkeessaan, sekä pienen elementti rivissään.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometry and the Imagination (2nd ed.), New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-1087-8
  • Widder, D. V. (1989), Advanced calculus, New York: Dover Publications, pp. page 128, ISBN 0-486-66103-2
  • Englanninkielinen Wikipedia