Satulapiste

Esimerkki satulapisteestä (punaisella): sola vuorten välissä

Matematiikassa satulapisteellä tarkoitetaan funktion määrittelyjoukon pistettä, joka on funktion stationaaripiste, mutta joka ei kuitenkaan ole funktion paikallinen maksimi/minimi. Esimerkki satulapisteestä on vuorten välissä oleva sola tai kaksiulotteisessa koordinaatistossa toiseen suuntaan nouseva ja toiseen suuntaan laskeva käyrä.

Matemaattinen määritelmä

Funktiolla $f(x,y)$ on satulapiste pisteessä $(X,Y)$ jos:

$1.f(x,y)\in C^{2}$

$2.f_{x}=f_{y}=0$ pisteessä $(X,Y)$

$3.f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}<0$ pisteessä $(X,Y)$

Todistus löytyy lähteenä olevasta Widderin kirjasta.

Määritelmä Hessen matriisin avulla

Reaaliarvoisella funktiolla ƒ ei ole satulapiste vaan paikallinen maksimi tai minimi, jos funktion Hessen matriisi on positiivisesti tai negatiivisesti definiitti matriisi. Hessen matriisi on reaaliarvoisen funktion toinen derivaatta. Jos (kahdessa ulottuvuudessa) matriisin determinantti on negatiivinen, ovat ominaisarvot erimerkkiset ja kyseessä on satulapiste. Jos determinantti on nolla, testi ei kerro mitään kyseisestä pisteestä. Hessen matriisi yleisessä n-ulotteisessa tapauksessa (jolloin satulapisteen käsite ei ole niin yksiselitteinen):

$\nabla \,^{2}\,f\,={\text{H}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{1}\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n}\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}$

Toinen tapa esittää sama asia: Merkitään edellisen matriisin determinanttia tunnuksella $D$. Funktion $f=(x,y)$ determinantti on (kahdessa ulottuvuudessa)

$D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}f_{yx}=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}$

Jos $D<0$, niin kyseinen piste on satulapiste.

Determinantti $D$ voidaan tulkita myös pinnan $f(x,y)$ Gaussin kokonaiskaarevuudeksi tarkastelupisteessä $(x,y)$ missä funktion ensimmäiset osittaisderivaatat häviävät.

Esimerkki

Tarkastellaan funktiota $f=x^{2}-y^{2}$. Funktion Hessen matriisi stationaaripisteessä $(0,0)$ on ${\text{H}}={\begin{bmatrix}2&0\\0&-2\end{bmatrix}}$

Nyt matriisin $H$ determinantti $D=2*(-2)=-4<0$, joten kyseinen piste $(0,0)$ on satulapiste.

Sovellukset

Dynaaminen systeemi: Dynaamisessa systeemissä satulapiste on jaksollinen piste, jonka vakaat ja epävakaat monikerrat omaavat nollasta eroavan ulottuvuuden.

Kahden henkilön nollasummapeli: Nashin tasapaino on satulapiste.

Satulapiste on matriisin ominaisuus, joka on samalla suurin elementti sarakkeessaan, sekä pienen elementti rivissään.

Katso myös

• Maksimi
• Sola
• Derivaatta
• Differentiaaliyhtälö

Lähteet

• Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometry and the Imagination (2nd ed.), New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-1087-8
• Widder, D. V. (1989), Advanced calculus, New York: Dover Publications, pp. page 128, ISBN 0-486-66103-2
• Englanninkielinen Wikipedia

Aiheesta muualla

• Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Satulapiste Wikimedia Commonsissa