Rengas

Rengas on keskeinen algebrassa käytetty matemaattinen käsite, joka sijoittuu rakenteellisesti ryhmän ja kunnan väliin. Rengas sisältää kaksi laskutoimitusta: yhteen- ja kertolaskun. Yhteenlaskun suhteen se on Abelin ryhmä. Kertolaskun suhteen ryhmällä on olemassa neutraalialkio ja voimassa assosiatiivi- ja distributiivilait. Sen sijaan renkaan alkioilla ei tarvitse olla käänteisalkiota kertolaskun suhteen. Jos sellainen on jokaisella alkiolla, kyseessä on kunta.

Määritelmä

Ryhmä $R$ on rengas binääristen operaatioiden $+$ ja $\cdot$ suhteen (merkitään $(R,+,\cdot)$) kun se toteuttaa seuraavat ehdot:

1. $\forall a, b \in R : a + b \in R$,
2. $\forall a, b \in R : a \cdot b \in R$,
3. $\forall a, b, c \in R : (a + b) + c = a + (b + c)$,
4. $\forall a, b, c \in R : (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$,
5. $\exists 0 \in R : \forall a \in R : a + 0 = a = 0 + a$,
6. $\exists 1 \in R : \forall a \in R : 1 \cdot a = a = a \cdot 1$,
7. $\forall a \in R : \exists (-a) \in R : a + (-a) = 0 = (-a) + a$,
8. $\forall a, b \in R : a + b = b + a$,
9. $\forall a, b, c \in R : a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)$.
10. $\forall a, b, c \in R : (b + c)\cdot a = (b \cdot a) + (c \cdot a)$.

Toisin sanoen

1. $R$ on Abelin ryhmä operaation $+$ suhteen (1, 3, 5, 7, 8).
2. $R$ on monoidi operaation $\cdot$ suhteen (2, 4, 6).
3. operaatio $\cdot$ on distributiivinen (9, 10).

Jos $\cdot$ on kommutatiivinen, $R$ on kommutatiivinen rengas.

Rengas on siis monoidia ja ryhmää monimutkaisempi rakenne jo siinä mielessä, että se yhdistää kaksi operaatiota. Näin rengas eroaa olennaisesti suorasta tulosta.

Kannattaa huomata, etteivät edellä merkityt $+$, $\cdot$, $1$ ja $0$ eivät tarkoita lukujen yhteen- tai kertolaskua, tai lukuja 1 tai 0, vaan joukossa käytettäviä operaattoreita ja joukon alkioita. Tosin lukurenkaista puhuttaessa nämä ovat usein yhteneviä.

Kuten muillekin algebrallisille struktuureille, renkaiden välille voidaan määritellä rakenteen säilyttävä kuvaus eli homomorfismi.

Esimerkkejä:

1. Kokonaislukujen joukko muodostaa kommutatiivisen renkaan yhteen- ja kertolaskun suhteen. Kannattaa huomata, että vaikka luvuilla onkin yhteenlaskun suhteen käänteisalkio, kertolaskun suhteen sitä ei ole.
2. Kompleksilukujen joukko muodostaa kommutatiivisen renkaan yhteen- ja kertolaskun suhteen.
3. Imaginaarilukujen joukko ei yksinään voi muodostaa rengasta, jossa on kertolasku, sillä kertolaskun yksikköalkio on luku 1, eikä se kuulu imaginaarilukujen joukkoon. Lisäksi imaginaarilukujen joukko ei ole kertolaskun suhteen suljettu.
4. Neliömatriisit, joiden determinantti on 1, muodostavat ei-kommutatiivisen renkaan matriisien yhteen- ja -kertolaskun suhteen. Yhteenlaskun nolla-alkiona on tällöin nollamatriisi ja kertolaskun yksikköalkiona identiteettimatriisi.

Kääntyvät alkiot ja nollanjakajat

Renkaan $R$ alkio $u$ on kääntyvä eli säännöllinen, jos on olemassa sellainen ryhmän $(R,+, \cdot)$:n alkio $u^{-1}$, että $uu^{-1}=u^{-1}u=1$, niin tätä alkiota u kutsutaan yleisesti yksiköksi. $R$:n kääntyvien alkioiden joukosta, eli yksikköryhmästä, käytetään merkintää $R^*$. $(R^*, \cdot)$ on ryhmä, mikä todistetaan seuraavasti:

1. Koska $1 \cdot 1 = 1$, kääntyvien alkioiden joukko ei ole tyhjä.
2. $R^*$:n ykkösalkio on $1$.
3. Oletetaan, että $a,b \in R^*$. Tällöin $(ab) (b^{-1}a^{-1}) = a(bb^{-1})a^{-1} = a \cdot 1 \cdot a^{-1} = 1$, joten kääntyvien alkioiden joukko on suljettu kertolaskun suhteen.
4. $R^*$ on assosiatiivinen, koska $R$ on assosiatiivinen $\cdot$:n suhteen.

Nollasta poikkeavaa alkiota $a \in R$ sanotaan nollanjakajaksi, jos on nollasta poikkeava $b \in R$, jolle $ab = 0$. Tällöin tietysti myös $b$ on nollanjakaja. Kommutatiivista rengasta, jossa ei ole nollanjakajia, sanotaan kokonaisalueeksi.

Renkaan alkioista kääntyvät alkiot käyttäytyvät yleensä kaikkein säännöllisimmin, kun taas nollanjakajat vaikeuttavat tarkastelua. Erityisesti supistamissääntö $ab = ac \Rightarrow b = c$ on voimassa vain, jos $a$ ei ole nollanjakaja. Tästä seuraa muun muassa se, että astetta n olevalla polynomilla, jonka kertoimet ovat $R$:n alkioita, voi olla enemmän kuin n juurta, jos ryhmässä $R$ on nollanjakajia.