Nollamittaisuus

Nollamittaisuus on yksi joukon ominaisuuksista mittateoriassa. Joukko on nollamittainen, jos se voidaan peittää väleillä, joiden yhteenlaskettu pituus on mielivaltaisen pieni.

Määritelmä

Joukko $A \sub \mathbb{R}^n$ on nollamittainen, jos jokaiselle $\varepsilon > 0$ on olemassa perhe $(I_k)_{k \in \mathbb{N}}$ kompakteja välejä $I_k \in \mathbb{R}^n$ siten, että

$A \sub \bigcup_{k \in \mathbb{N}} I_k$ ja $\sum_{k \in N} \lambda_n (I_k) < \varepsilon.$

Tällöin merkitään $A \sub \mathcal{N} = \mathcal{N}(\mathbb{R}^n).$

Määritelmässä on olennaista peittävien välien numeroituva määrä. Määritelmä asetetaan usein siten, että peittävinä väleinä käytetään avoimia välejä. Rajoitettu väli on nollamittainen, jos ja vain jos se on surkastunut.

Ominaisuuksia

Nollamittaisilla joukoilla on seuraavat ominaisuudet:

• Nollamittaisen joukon osajoukko on nollamittainen.
• Nollamittaisten joukkojen numeroituva yhdiste on nollamittainen. Niiden ylinumeroituva yhdiste ei sen sijaan välttämättä ole nollamittainen.
• Jos joukko $A \in \mathbb{R}^m$ on nollamittainen ja $B \in \mathbb{R}^n$ on rajoitettu, niin tulojoukko $A \times B \in \mathbb{R}^{m + n}$ on nollamittainen.
• Jos kompaktin välin $I \in \mathbb{R}^n$ funktio $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ on integroituva, niin sen graafi $\mathcal{G}_f = \{ (x, f(x)) \in \mathbb{R}^{n+1} : x \in I \} \sub \mathbb{R}^{n+1}$ on nollamittainen.
• Nollamittainen joukko on Lebesgue-mitallinen.

Aiheesta muualla

• MathWorld. Measure Zero