Nollamittaisuus

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Nollamittaisuus on yksi joukon ominaisuuksista mittateoriassa. Joukko on nollamittainen, jos se voidaan peittää väleillä, joiden yhteenlaskettu pituus on mielivaltaisen pieni.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Joukko A \sub \mathbb{R}^n on nollamittainen, jos jokaiselle \varepsilon > 0 on olemassa perhe (I_k)_{k \in \mathbb{N}} kompakteja välejä I_k \in \mathbb{R}^n siten, että

A \sub \bigcup_{k \in \mathbb{N}} I_k ja \sum_{k \in N} \lambda_n (I_k) < \varepsilon.

Tällöin merkitään A \sub \mathcal{N} = \mathcal{N}(\mathbb{R}^n).

Määritelmässä on olennaista peittävien välien numeroituva määrä. Määritelmä asetetaan usein siten, että peittävinä väleinä käytetään avoimia välejä. Rajoitettu väli on nollamittainen, jos ja vain jos se on surkastunut.

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Nollamittaisilla joukoilla on seuraavat ominaisuudet:

  • Nollamittaisen joukon osajoukko on nollamittainen.
  • Nollamittaisten joukkojen numeroituva yhdiste on nollamittainen. Niiden ylinumeroituva yhdiste ei sen sijaan välttämättä ole nollamittainen.
  • Jos joukko A \in \mathbb{R}^m on nollamittainen ja B \in \mathbb{R}^n on rajoitettu, niin tulojoukko A \times B \in \mathbb{R}^{m + n} on nollamittainen.
  • Jos kompaktin välin I \in \mathbb{R}^n funktio f: I \rightarrow \mathbb{R} on integroituva, niin sen graafi \mathcal{G}_f = \{ (x, f(x)) \in \mathbb{R}^{n+1} : x \in I \} \sub \mathbb{R}^{n+1} on nollamittainen.
  • Nollamittainen joukko on Lebesgue-mitallinen.

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]