Lagrangen mekaniikka

Lagrangen mekaniikka on ranskalaisen matemaatikon Joseph-Louis Lagrangen vuonna 1788 esittelemä vaihtoehtoinen lähestymistapa klassiseen mekaniikkaan. Lagrangen mekaniikka perustuu niin kutsuttuun pienimmän vaikutuksen periaatteeseen. Lagrangen lähestymistapa on koulufysiikasta tutusta newtonilaisesta lähestymistavasta riippumaton, ja Newtonin mekaniikan liikelait voidaankin johtaa Lagrangen formalismista.

Eulerin–Lagrangen liikeyhtälö

Pienimmän vaikutuksen periaatteen mukaan systeemin aikakehitys tapahtuu niin, että vaikutusfunktioksi (engl. action) kutsuttu suure

$S = \int L dt$

on stationäärinen, mikä yleensä tarkoittaa lausekkeen minimoitumista. Vaikutusfunktion määritelmässä integraalin sisällä oleva funktio $L$ on systeemiä kuvaava Lagrangen funktio. Se voidaan lausua kappaleen liike-energian $T$ ja kappaleen potentiaalienergian $V$ avulla siten, että

$L = T - V\,$.

Lagrangen funktio on siis kappaleen yleistettyjen paikkakoordinaattien $\scriptstyle q_i\,$ (esimerkiksi $\scriptstyle x$, $\scriptstyle y$ ja $\scriptstyle z$) sekä vastaavien nopeusvektorin komponenttien $\scriptstyle \dot{q}_i$ ja mahdollisesti myös ajan $\scriptstyle t\,$ funktio. Variaatiolaskennan avulla on melko helppoa osoittaa, että vaikutusfunktio minimoituu vain ja ainoastaan silloin kun

$\frac{\partial L}{\partial q_i} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} = 0$,

missä alaindeksit $\scriptstyle i = 1,~2,~3,...$

Yllä saatu yhtälö on Eulerin–Lagrangen yhtälö ja se toimii kappaleen liikeyhtälönä . Käytännössä kappaleen liikkeen kuvaamista varten on siis ratkaistava toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä muodostuva yhtälöryhmä, jossa on yksi yhtälö kutakin koordinaattia varten (siis esimerkiksi normaalin kolmiulotteisen liikkeen tapauksessa kolme yhtälöä). Yhtälöryhmän ratkaisuna saadaan kappaleen avaruudessa kulkema rata ajan funktiona.

Lagrangen formalismin eräs suuri etu on, että systeemissä esiintyviä rajoitusvoimia ei tarvitse ottaa huomioon liikeyhtälöitä muodostettaessa. Lisäksi ei tarvita myöskään vektoreita, ja vapaasti valittavia koordinaatteja on vain systeemin todellisten vapausasteiden lukumäärä. Esimerkiksi perinteisen matemaattisen heilurin tilan kuvaamiseen tarvitaan todellisuudessa vain yksi koordinaatti (heilahduskulma), mutta Newtonin mekaniikan mukaan edettäessä joudutaan muodostamaan kaksi liikeyhtälöä. Lagrangen liikeyhtälöitä muodostettaessa ei tarvitse myöskään laskea kiihtyvyyksiä, vaan ainoastaan liike-energia. Monimutkaisemmissa systeemeissä Lagrangen formalismin edut ovat vielä huomattavasti selkeämmät. Lagrangen lähestymistapaa käytetäänkin usein lähtökohtana jatkuvan aineen mekaniikan tarkasteluissa.

Esimerkki: yksiulotteinen oskillaattori

Tarkastellaan kappaletta, jonka kineettinen energia on

$T = \frac{1}{2}m \dot{x}^2$

ja jonka potentiaalienergia on

$V = \frac{1}{2}cx^2$,

missä $m$ on kappaleen massa ja $c$ vakio. Systeemiä kuvaava Lagrangen funktio on siis

$L = \frac{1}{2}m \dot{x}^2 - \frac{1}{2}cx^2$.

Suorittamalla tarvittavat derivoinnit ja sijoittamalla Eulerin–Lagrangen yhtälöön saadaan liikeyhtälöksi

$\ddot{x} = -\frac{c}{m}x$

Tämä on normaali toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö, jonka ratkaisuna on

$x = A_1 \sin(\sqrt{c/m}\;t) + A_2 \cos(\sqrt{c/m}\;t)$ eli sinimuotoinen värähtely x-akselin suunnassa kulmanopeudella $\sqrt{c/m}$.

Katso myös

• Newtonin mekaniikka
• Hamiltonin mekaniikka