Lämpöyhtälö

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Lämpöyhtälö on osittaisdifferentiaaliyhtälö, joka kuvaa lämmön johtumista aineessa. Yksinkertaisimmillaan yhtälö tiivistyy muotoon

 u_t = \alpha \Delta u ,

joka on tyypillinen esimerkki parabolisesta osittaisdifferentiaaliyhtälöstä.

Lämpöyhtälön johtaminen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tarkastellaan avointa avaruuden osajoukkoa  \Omega , ja olkoon  u(x,t) lämpötila,  e(x,t) aineen sisäenergia (J/kg) ja \vec{q} lämpövuo (J/(m^2 s)). Energia tarkasteltavassa alueessa voidaan kirjoittaa

 E = \int _\Omega e(x,t) \rho (x) dx ,

missä \rho on aineen tiheys. Toisaalta energiaa poistuu alueesta nopeudella

 \iint _{\partial \Omega} \vec{q} \cdot n dS ,

missä  n on alueen yksikköulkonormaali. Gaussin divergenssilauseen avulla jälkimmäinen lauseke voidaan kirjoittaa muotoon

 \int _\Omega \nabla \cdot \vec{q} dx ,

ja energian säilymisestä saadaan tällöin yhtälö

 \frac{\partial}{\partial t} \int _\Omega e(x,t) \rho (x) dx + \int _\Omega \nabla \cdot \vec{q} dx = 0 .

Koska nyt derivointi voidaan viedä integraalin sisään ja yhtälö pätee mielivaltaiselle alueelle, saadaan yhtälö

 \rho(x) e_t (x,t) + \nabla \cdot \vec{q} = 0 .

Toistaiseksi tarkasteluissa ei ole käytetty fysiikkaa lainkaan. Fourierin laki kertoo kuitenkin lämpövuon ja lämpötilan välillä olevan yhteyden

 \vec{q} = -k(x) \nabla u(x,t) ,

joka kertoo lämmön virtaavan siihen suuntaan, missä lämpötila laskee nopeimmin. Lisäksi aineen sisäenergian ja lämpötilan välillä on yhteys

 e(x,t) = c(x) u(x,t) ,

missä  c on aineen ominaislämpökapasiteetti (J/(kgK)). Sijoittamalla nämä aiemmin saatuun yhtälöön saadaan nyt

 \rho (x) c(x) u_t (x,t) + \nabla \cdot (-k(x) \nabla u(x,t)) = 0 .

Jos Fourierin lain kerroin  k (lämmönjohtumisvakio) ei riipu paikasta, saadaan

 \rho (x) c(x) u_t (x,t) = k \Delta u(x,t) .
Commons
Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Lämpöyhtälö.
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.