Keskijana

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Keskijana piirretään kolmion kärjestä vastaisen sivun keskipisteeseen.

Keskijana eli mediaani on geometriassa jana, jonka toinen päätepiste on kohdejanan keskipisteessä. Esimerkiksi kolmiossa keskijana kulkee kolmion kärjestä vastakkaisen sivun keskipisteeseen eli kantapisteeseen. (Mediaani tarkoittaa myös erästä keskilukua: lukusarjan keskimmäistä lukuarvoa.)

Keskijanan kantapiste merkitään usein alaviitteellä, mutta merkinnässä on lähteistä riippuen eroja. Jos jana alkaa pisteestä A, saatetaan kantapistettä merkitä \scriptstyle M_A tai \scriptstyle m_A. Joskus se merkitään \scriptstyle M_a tai \scriptstyle m_a, jos on janalla \scriptstyle a.[1]

Tässä merkitään kolmion sivujen pituuksia kirjaimilla a, b ja c sekä kolmion kärkiä kirjaimilla A, B ja C. Kantapisteet ovat silloin Ma, Mb ja Mc sekä keskijanojen pituudet ma, mb ja mc.

Kaavoja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yleisen kolmion keskijanan pituus on \scriptstyle m_a = \tfrac{1}{2} \sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}, missä keskijana toinen pää on janan \scriptstyle a keskipisteessä.[2][3]

Kun keskijanojen yhteispituuden puolikasta merkitään \scriptstyle s_m = \tfrac{1}{2} (m_a + m_b + m_c), pätee kolme asiaa:

  • m_a^2 = \tfrac{1}{4} (2b^2 + 2c^2 - a^2) (vastaavasti muillekin kolmion suvuille)
  • m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \tfrac{3}{4}(a^2 + b^2 + c^2)
  • A = \tfrac{4}{3} \sqrt{s_m (s_m - m_a)(s_m - m_b)(s_m - m_c)} [4]

Yleisiä teoreemoja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Keskijanat leikkaavat aina kaikki toisensa samassa pisteessä, jotka kutsutaan painopisteeksi.
Keskijanojen kantapisteistä muodostuu keskinen kolmio, jonka keskijanat leikkaavat alkuperäisen kolmion painopisteessä.

Jos kolmiossa on keskijanat yhtä pitktä kuin vastinjanat toisessa kolmiossa, ovat kolmiot yhtenevät.[5]

Jokainen keskijana toisensa 1 : 2. Keskijanat jakavat kukin yksin kolmion kahteen pinta-alaltaan, tai tasapakulla levyllä vastaavasti, painoltaan yhtä painavaan, osaan.[4]

Kolmion keskijanat jakavat kolmion kuuteen pienempään kolmioon, joilla kaikilla on sama pinta-ala.[6]

Kolmion keskijanojen kantapisteiden kautta voidaan piirtä ympyrä. Tämä ympyrä kulkee myös kolmion korkeusjanojen kantapisteiden kautta.[7]

Keskijanojen kantapisteistä muodostuu keskinen kolmio, jonka painopiste sama kuin alkuperäiselläkin kolmiolla.[8]

Jos kolmion keskijana on samalla korkeusjana eli se kohtaa janan kohtisuorasti, on kolmio tasakylkinen- tai tasasivuinen kolmio.

Painopiste[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kolmion keskijanat leikkaavat aina samassa pisteessä, jota voidaan kutsua pisteeksi G. Tätä pistettä kutsutaan painopisteeksi. Painopiste jakaa jokaisen keskijanan 2 : 1 siten, että janan lyhyempi osa jää kantapisteen puolelle. [9][6][10][11]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s.10
  2. Seppänen, Raimo et al., MAOL, s.28-29
  3. Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s.17
  4. a b Weisstein, Eric W.: Triangle Median (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  5. Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s.12
  6. a b Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s.107
  7. Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s.26-27
  8. Weisstein, Eric W.: Medial Triangle (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  9. Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s.25
  10. Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s.108
  11. Väisälä Kalle: Geometria, 1959, s.81