Idempotentti matriisi

Idempotentti matriisi on sellainen neliömatriisi, jolle

$A^{2}=A\,$.

Esimerkiksi voidaan laskea, että

${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}$

eli kyseinen matriisi on idempotentti. Jos matriisi A on idempotentti ja I on identiteettimatriisi, niin

• $I-A\,$ on idempotentti

• $\mathrm {Im} (I-A)=\mathrm {Ker} (A)\,$

• $\mathrm {Ker} (I-A)=\mathrm {Ker} (A)\,$

• $K^{n}=\mathrm {Im} (A)\oplus \mathrm {Ker} (A)$

• $A\,$on diagonalisoituva

• $A\,$:n ainoat ominaisarvot ovat nolla ja/tai yksi ja ominaisarvon 1 kertaluku on sama kuin $A\,$:n aste.

Tässä merkintä $K^{n}$ tarkoittaa kunnan K muodostamaa n-ulotteista vektoriavaruutta, $\mathrm {Ker} (A)$ on A:n ydin ja $\mathrm {Im} (A)$ on A:n kuva. Geometrisesti idempotentit matriisit vastaavat projektioita avaruudesta jollekin sen aliavaruudelle. Esimerkiksi jos $(x,y,z)^{T}\,$ on jokin $\mathbb {R} ^{3}$:n vektori

${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\\y\\0\end{bmatrix}}$,

eli edellisen esimerkin idempotentti matriisi kuvaa $\mathbb {R} ^{3}$:n suoran $(x,y)$-tasoon. Jos idempotentti matriisi on lisäksi itseadjungoitu, sen kuvaama projektio on ortogonaalinen.

Ortogonaalisesti idempotentit matriisit

Erityisen tärkeän joukon muodostavat ortogonaalisesti idempotentit matriisit. Nämä ovat sellainen joukko matriiseja $\{E_{1},E_{2},...,E_{n}\}\,$, että kaikille joukon jäsenille pätee

1. $E_{i}^{2}=E_{i}\,$
2. $E_{i}E_{j}=0\,$

aina kun $i\neq j$. Jos lisäksi

$E_{1}+E_{2}+...+E_{n}=I\,$,

missä $I$ on identiteettimatriisi sanotaan ortogonaalisesti idempotenttien matriisien muodostavan täyden joukon. Ortogonaalisilla idempotenteilla on seuraavat ominaisuudet:

• $I-E_{i}\,$ on ortogonaaliseti idempotentti.
• Summa $E_{i}+E_{j}\,$ on ortogonaalisesti idempotentti kaikilla $i,j$.
• Jos $A=PE_{i}P^{-1}\,$ niin myös $A$ on ortogonaalisesti idempotentti.
• Eräs täysi joukko ortogonaalisesti idempotentteja matriiseja on joukko $\{E_{11},E_{22},...,E_{nn}\}\,$, missä kukin $E_{kk}\,$ on sellainen matriisi, jonka päädiagonaalilla sijaitseva alkio $e_{kk}\,$ on ykkönen ja kaikki muut alkiot nollia.

Täysi joukko ortogonaalisesti idempotentteja matriiseja on keskeinen tekijä matriisien spektraliesityksissä ja spektraalihajotelmissa, sillä ne muodostavat hajotelmaa vastaavan matriisin generoiman alialgebran kannan.

Kirjallisuutta

• Kivelä, Simo K.: Matriisilasku ja lineaarialgebra. Helsinki: Otatieto, 1984. ISBN 951-671-368-8.
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).