Heikko suppeneminen

Heikko suppeneminen eli heikko konvergenssi on matematiikassa tiettyjen funktioiden jonojen ominaisuus.

Jos $L^{p}$-avaruuden duaalia merkitään $L^{q}$:lla, voidaan $L^{p}$:ssä määritellä heikko suppeneminen seuraavasti: jono funktioita $u_{i}\in L^{p},1<p<\infty$ suppenee heikosti kohti funktiota $u\in L^{p}$, jos jokaisella $g\in L^{q}$ pätee

$\int _{X}gu_{i}\,d\mu \to \int _{X}gu\,d\mu$.

Tällöin $u$ on yksikäsitteisesti määrätty ja

$||u||_{p}\leq \liminf _{i\to \infty }||u_{i}||_{p}.$

Heikosta konvergenssista ei seuraa $||u-u_{i}||_{p}\to 0$, tai että $u_{i}\to u$ melkein kaikkialla. Kuitenkin jos $(u_{i})$ on rajoitettu jono $L^{p}$:ssä, $1<p<\infty$ jolle $||u_{i}||_{p}\leq M$, on olemassa osajono $(u_{i_{j}})$ ja $u\in L^{p}$ s.e. $u_{i}\to u$ heikosti $L^{p}$:ssä.