Gudermannin funktio

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Gudermannin funktio asymptootteineen

Gudermannin funktio eli hyperbolinen amplitudi on erikoisfunktio, joka yhdistää trigonometriset funktiot hyperbolisiin funktioihin ilman kompleksilukujen käyttöä. Gudermannin funktion käänteisfunktio kuvaa leveyspiirin kuvautumista kartan y-akselille yleisesti käytetyssä Mercatorin karttaprojektiossa. Funktio on nimetty saksalaisen matemaatikon Cristoph Gudermannin (17981852) mukaan.

Gudermannin funktio, gd, määritellään

\operatorname{gd}(x) = \int_0^x \frac{dt}{\cosh t} = 2 \arctan(e^x) - \frac{\pi}{2}.[1]

Gudermannin funktion käänteisfunktio on vastaavasti

\operatorname{arcgd}(x) = \int_0^x \frac{dt}{\cos t}= \frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+\sin x}{1- \sin x}\right)

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Gudermannin funktio on pariton, sillä

\operatorname{gd}(-x) = -\operatorname{gd}(x)\,

Sillä on myös kaksi asymptoottia

\lim_{x\rightarrow \infty} \operatorname{gd}(x) = \frac{\pi}{2}
\lim_{x\rightarrow -\infty} \operatorname{gd}(x) = -\frac{\pi}{2}

Yhteys trigonometristen ja hyperbolisten funktioiden välillä

\sinh(x) = \tan(\operatorname{gd}(x))\,
\cosh(x) = \sec(\operatorname{gd}(x))\,
\tanh(x) = \sin(\operatorname{gd}(x))\,
\operatorname{sech}(x) = \cos(\operatorname{gd}(x))\,
\operatorname{csch}(x) = \cot(\operatorname{gd}(x))\,
\coth(x) = \csc(\operatorname{gd}(x))\,

ja lisäksi

\tanh\left(\frac{x}{2}\right) = \tan\left(\frac{\operatorname{gd}(x)}{2}\right)

Eksponenttifunktioon Gudermannin funktiolla on yhteys

e^x = \frac{1 + \sin(\operatorname{gd}(x))}{\cos(\operatorname{gd}(x))}

Funktion ja sen käänteisfunktion derivaatat ovat

\frac{d}{dx}\operatorname{gd}(x) = \operatorname{sech} x
\frac{d}{dx}\operatorname{arcgd}(x) = \sec x

Gudermannin funktio yleistyy suoraan kompleksilukuargumenteille. Puhtaasti imaginääriselle argumentille on voimassa

\operatorname{gd}(ix) = i\operatorname{arcgd}(x)\,

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Weisstein, Eric W.: CRC Concise Encylopedia of Mathematics, s. 1271-1272. , 2003.

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]