Gudermannin funktio

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Gudermannin funktio asymptootteineen

Gudermannin funktio eli hyperbolinen amplitudi on erikoisfunktio, joka yhdistää trigonometriset funktiot hyperbolisiin funktioihin ilman kompleksilukujen käyttöä. Gudermannin funktion käänteisfunktio kuvaa leveyspiirin kuvautumista kartan y-akselille yleisesti käytetyssä Mercatorin karttaprojektiossa. Funktio on nimetty saksalaisen matemaatikon Cristoph Gudermannin (17981852) mukaan.

Gudermannin funktio, gd, määritellään

\textrm{gd}(x) = \int_0^x \frac{dt}{\cosh t} = 2 \arctan(e^x) - \frac{\pi}{2}

Gudermannin funktion käänteisfunktio on vastaavasti

\textrm{arcgd}(x) = \int_0^x \frac{dt}{\cos t}= \frac{1}{2}\ln (\frac{1+\sin x}{1- \sin x})

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Gudermannin funktio on pariton, sillä

\textrm{gd}(-x) = -\textrm{gd}(x)\,

Sillä on myös kaksi asymptoottia

\lim_{x\rightarrow \infty} \textrm{gd}(x) = \frac{\pi}{2}
\lim_{x\rightarrow -\infty} \textrm{gd}(x) = -\frac{\pi}{2}

Yhteys trigonometristen ja hyperbolisten funktioiden välillä

\sinh(x)=\tan(\textrm{gd}(x))\,
\cosh(x)=\sec(\textrm{gd}(x))\,
\tanh(x)=\sin(\textrm{gd}(x))\,
\textrm{sech}(x)=\cos(\textrm{gd}(x))\,
\textrm{csch}(x)=\cot(\textrm{gd}(x))\,
\coth(x)=\csc(\textrm{gd}(x))\,

ja lisäksi

\tanh(\frac{x}{2}) = \tan(\frac{\textrm{gd}(x)}{2})

Eksponenttifunktioon Gudermannin funktiolla on yhteys

e^x = \frac{1 + \sin(\textrm{gd}(x))}{\cos(\textrm{gd}(x))}

Funktion ja sen käänteisfunktion derivaatat ovat

\frac{d}{dx}\textrm{gd}(x) = \textrm{sech} x
\frac{d}{dx}\textrm{arcgd}(x) = \sec x

Gudermannin funktio yleistyy suoraan kompleksilukuargumenteille. Puhtaasti imaginääriselle argumentille on voimassa

\textrm{gd}(ix) = i\textrm{arcgd}(x)\,

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]