Eulerin tiili

Eulerin tiili on suorakulmainen särmiö, jossa särmien pituudet ja tahkojen lävistäjien pituudet ovat positiivisia kokonaislukuja. Eulerin tiili on saanut nimensä Leonhard Eulerin mukaan.

Ominaisuudet

Eulerin tiilen sivujen pituudet saadaan ratkaisemalla seuraavat Diofantoksen yhtälöt:

$\begin{cases} a^2 + b^2 = d^2\\ b^2 + c^2 = e^2\\ a^2 + c^2 = f^2\end{cases}$

Jos a, b ja c ovat Eulerin tiilen sivun pituudet, niin myös kolmikko (bc, ac, ab) muodostaa Eulerin tiilen.

Esimerkkejä

Pienimmässä Eulerin tiilessä, jonka löysi Paul Halcke vuonna 1719, on sivujen pituudet $(a, b, c) = (240, 117, 44)$ ja tahkojen lävistäjät 267, 244, and 125.

Muita ratkaisuja: sivujen pituudet(a, b, c)

(275, 252, 240), (693, 480, 140), (720, 132, 85), ja (792, 231, 160).

Täydellinen suorakulmainen särmiö

Täydellinen suorakulmainen särmiö on eulerin tiili, jossa myös särmiön avaruuslävistäjän pituus on positiivinen kokonaisluku. Toisin sanoen yllä esitettyyn Diofantoksen yhtälöön lisätään yhtälö

$a^2 + b^2 + c^2 = g^2.\,$

Tiettävästi kukaan ei ole ratkaissut tätä yhtälöä. Täydellistä suorakulmaista särmiötä ei ole löydetty.

Alkeellinen Eulerin tiili

Alkeelliseksi Eulerin tiileksi sanotaan sellaista Eulerin tiiltä, jonka sivujen pituudet ovat keskenään jaottomia lukuja eli niiden suurin yhteinen tekijä on 1. Pienin löydetty Eulerin tiili, $(a, b, c) = (240, 117, 44)$, on alkeellinen Eulerin tiili sillä sen sivujen pituudet ovat keskenään jaottomia.

Lähteet

• http://mathworld.wolfram.com/EulerBrick.html
• http://mathworld.wolfram.com/PerfectCuboid.html
• http://www.math.harvard.edu/~knill/various/eulercuboid/lecture.pdf