Eulerin tiili

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Eulerin tiili on suorakulmainen särmiö, jossa särmien pituudet ja tahkojen lävistäjien pituudet ovat positiivisia kokonaislukuja. Eulerin tiili on saanut nimensä Leonhard Eulerin mukaan.

Ominaisuudet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Eulerin tiilen sivujen pituudet saadaan ratkaisemalla seuraavat Diofantoksen yhtälöt:

\begin{cases} a^2 + b^2 = d^2\\ b^2 + c^2 = e^2\\ a^2 + c^2 = f^2\end{cases}

Jos a, b ja c ovat Eulerin tiilen sivun pituudet, niin myös kolmikko (bc, ac, ab) muodostaa Eulerin tiilen.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pienimmässä Eulerin tiilessä, jonka löysi Paul Halcke vuonna 1719, on sivujen pituudet (a, b, c) = (240, 117, 44) ja tahkojen lävistäjät 267, 244, and 125.

Muita ratkaisuja: sivujen pituudet(a, b, c)

(275, 252, 240), (693, 480, 140), (720, 132, 85), ja (792, 231, 160).

Täydellinen suorakulmainen särmiö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Täydellinen suorakulmainen särmiö on eulerin tiili, jossa myös särmiön avaruuslävistäjän pituus on positiivinen kokonaisluku. Toisin sanoen yllä esitettyyn Diofantoksen yhtälöön lisätään yhtälö

a^2 + b^2 + c^2 = g^2.\,

Tiettävästi kukaan ei ole ratkaissut tätä yhtälöä. Täydellistä suorakulmaista särmiötä ei ole löydetty.

Alkeellinen Eulerin tiili[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Alkeelliseksi Eulerin tiileksi sanotaan sellaista Eulerin tiiltä, jonka sivujen pituudet ovat keskenään jaottomia lukuja eli niiden suurin yhteinen tekijä on 1. Pienin löydetty Eulerin tiili, (a, b, c) = (240, 117, 44), on alkeellinen Eulerin tiili sillä sen sivujen pituudet ovat keskenään jaottomia.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]