Eksponentiaalinen hajoaminen

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Eksponentiaalinen hajoaminen. Kuvaajasta nähdään, että hajoaminen on sitä nopeampaa, mitä suurempi on hajoamisvakio. Kuvaajaan on piirretty eksponentiaalinen hajoaminen hajoamisvakion arvoilla 25, 5, 1, 1/5, ja 1/25 x:n arvoilla nollasta viiteen.

Suure pienenee tai vähenee eksponentiaalisesti, jos sen hetkellinen arvo N pienenee kullakin ajanhetkellä t nopeudella, joka on suoraan verrannollinen senhetkiseen arvoon. Positiivista verrannollisuuskerrointa λ kutsutaan tällöin hajoamisvakioksi. Tällöin hajoaminen toteuttaa hajoamislaiksi kutsutun differentiaaliyhtälön:

\frac{dN}{dt} = -\lambda N.

Yhtälöä kutsutaan hajoamislaiksi muun muassa siksi, että sillä on yhteys radio­aktiiviseen hajoamiseen ja kemiallisiin hajoamisreaktioihin.

Differentiaaliyhtälön ratkaisu[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Differentiaaliyhtälö voidaan ratkaista muokkaamalla se ensin muotoon

\frac{dN}{N} = -\lambda dt

ja integroimalla yhtälön molemmat puolet. Integrointirajat vasemmalla puolella ovat N(0) eli N:n arvo hetkellä t=0 ja N(t) eli arvo hetkellä t. Vastaavasti oikealla puolella integrointi tehdään välillä 0 ... t. Ratkaisuksi saadaan yhtälö

\ln \frac {N(t)}{N(0)} = -\lambda t,

josta saadaan lopulta ratkaistua N(t):

N(t)=N(0)\cdot e^{-\lambda t}.

Edellä olevaa yhtälöä kutsutaan hajoamislain integraalimuodoksi.

Hajoamisnopeutta kuvaavat aikasuureet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Puoliintumisaika[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Intuitiivisesti ymmärrettävä suure hajoamisen nopeudelle on puoliintumisaika. Puoliintumisaika on se aika, jossa suure N pienenee puoleen alkuperäisestä arvostaan. Puoliintumisaika T voidaan helposti johtaa hajoamislain integraalimuodosta asettamalla N(T)=N(0)/2, eli ajanhetkellä t=T on N:n alkuperäinen arvo laskenut puoleen alkuperäisestä. Tällöin saadaan puoliintumisajan arvoksi

T = \frac{\ln 2}{\lambda}.

Hajoamislaki saa tämän kaavan avulla helpon muodon (sijoittamalla \lambda=\ln 2/T hajoamislain integraalimuotoon):

N(t)=N(0)\cdot e^{-\frac{\ln 2}{T} t}=N(0)\cdot 2^{-\frac{t}{T}}.

Tästä yhtälöstä nähdään, että yhden puoliintumisajan kuluessa suure on pienentynyt puoleen alkuperäisestä, kahden puoliintumisajan kuluttua neljäsosaan jne.

Keskimääräinen elinaika[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Toinen, matemaattisesti yksinkertaisempi mutta intuitiivisesti vaikeammin ymmärrettävä hajoamisnopeutta kuvaava suure on keskimääräinen elinaika \tau. Keskimääräinen elinaika on se aika, jossa suure pienenee 1/e:n osaan alkuperäisestä. Vastaavalla tavalla kuin puoliintumisajan yhteydessä, saadaan keskimääräisen elinajan lausekkeeksi

\tau = \frac {1}{\lambda}.

Esimerkiksi radioaktiivisessa hajoamisessa keskimääräinen elinaika kuvaa keskimääräistä aikaa, jonka ydin ehtii olla alun perin N(0) ydintä sisältäneessä joukossa ennen hajoamistaan. Toisenlainen johto keskimääräiselle elinajalle on esitetty englanninkielisessä artikkelissa.

Esimerkiksi polonium-210:n keskimääräinen elinaika on 200 vuorokautta, mutta puoliintumisaika vain 138 vuorokautta.

Hajoaminen useamman prosessin kautta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos hajoaminen tapahtuu useamman prosessin kautta (kuten usein esimerkiksi radioaktiivisessa hajoamisessa), ja kullakin on oma keskimääräinen elinaikansa, ollaan yleensä kiinnostuneita vain kokonaisuudessaan hajoamisen keskimääräisestä elinajasta. Kokonaishajoamisnopeudelle voidaan kirjoittaa yhtälö:

-\frac{dN(t)}{dt} = N\lambda _1 + N\lambda _2 = (\lambda _1 + \lambda _2)N.\,

Ratkaisu saadaan, kun kirjoitetaan hajoamisvakioiden summa uutena hajoamisvakiona eli asettamalla \lambda_1 + \lambda_2=\lambda_c. Tällöin

\frac{dN(t)}{dt}=-\lambda_c N.

Nyt saadaan yhtälö

\frac{1}{\tau_c}=\frac{1}{\tau_1}+\frac{1}{\tau_2},

josta ratkaisemalla saadaan

\tau_c=\frac{\tau_1 \cdot \tau_2}{\tau_1+\tau_2}.

On helppoa nähdä, että tämä voidaan yleistää koskemaan n kappaletta prosesseja muodossa

 \frac{1}{\tau _c}=\sum_{i=1}^n \frac{1}{\tau_i}.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Radioaktiivisessa hajoamisessa hajoavan aineen ytimien lukumäärä pienenee eksponentiaalisesti. Esimerkiksi luonnon pitkäikäisin uraani-isotooppi uraani-238 hajoaa 4,5 miljardin vuoden puoliintumisajalla.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]