Cauchyn epäyhtälö

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Matematiikassa Cauchyn epäyhtälö, Cauchyn-Schwarzin epäyhtälö, Schwarzin epäyhtälö tai Cauchyn-Bunjakovskin-Schwarzin epäyhtälö on kuuluisa ja monissa tilanteissa hyödyllinen epäyhtälö, jonka nimen taustalla ovat Augustin Louis Cauchy, Viktor Jakovlevitš Bunjakovski ja Hermann Amandus Schwarz. Epäyhtälö on käytössä lineaarialgebrassa vektoriavaruuksien yhteydessä, analyysissä sarjateoriassa ja sarjojen integroinnissa ja todennäköisyyslaskennassa varianssien ja kovarianssien yhteydessä.

Epäyhtälön mukaan reaali- tai kompleksivektoreiden x ja y sisätulolle on voimassa

|\langle x,y\rangle|^2 \leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle.

Epäyhtälössä on voimassa yhtäsuuruus jos ja vain jos x ja y ovat lineaarisesti riippuvia tai, jos x ja y tulkitaan vektoreiksi, yhdensuuntaisia.

Tärkeä seuraus Cauchyn epäyhtälöstä on se, että sisätulo on jatkuva funktio.

Toinen muoto Cauchyn epäyhtälölle saadaan normin avulla lausuttuna:

 |\langle x,y\rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|.\,

Cauchyn epäyhtälön todisti Cauchy vuonna 1821 äärellisessä tapauksessa. Yleisen tapauksen todisti Bunjakovski vuonna 1859.

Todistus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Epäyhtälö on selvästi tosi tapauksessa y = 0, joten voidaan olettaa, että <y, y> on nollasta poikkeava. Olkoon  \lambda kompleksiluku. Tällöin

 0 \leq \left\| x-\lambda y \right\|^2
= \langle x-\lambda y,x-\lambda y \rangle
 = \langle x,x \rangle - \overline\lambda \langle x,y \rangle - \lambda \langle y,x \rangle + |\lambda|^2 \langle y,y\rangle.

Valitsemalla

 \lambda = \langle x,y \rangle \cdot \langle y,y \rangle^{-1}

saadaan

 0 \leq \langle x,x \rangle - |\langle x,y \rangle|^2 \cdot \langle y,y \rangle^{-1},

mikä on voimassa jos ja vain jos

 |\langle x,y \rangle|^2 \leq \langle x,x \rangle \cdot \langle y,y \rangle

eli yhtäpitävästi:

 \big| \langle x,y \rangle \big|
\leq \left\|x\right\| \left\|y\right\|.

Q.E.D.

Merkittäviä erikoistapaksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

\left(\sum_{i=1}^n x_i y_i\right)^2\leq \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n y_i^2\right). Erityisesti kun n=2 tai 3, jos pistetulo määritellään kahden vektorin väliseksi kulmaksi, saadaan välittömästi epäyhtälö: |\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}| = |\mathbf{x}| |\mathbf{y}| |\cos \theta| \le |\mathbf{x}| |\mathbf{y}|. Tämä voidaan johtaa myös Lagrangen identiteetistä jättämällä pois joitakin termejä.
  • Neliöllisesti integroituvien kompleksisten funktioiden sisätuloavaruudessa on voimassa
\left|\int f^*(x)g(x)\,dx\right|^2\leq\int \left|f(x)\right|^2\,dx \cdot \int\left|g(x)\right|^2\,dx.

Näiden epäyhtälöiden yleistys on nimeltään Hölderin epäyhtälö.

  • Tapauksessa n=3 epäyhtälöstä on olemassa vahvempi yhtälö:
\langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle = |\langle x,y\rangle|^2 + |x \times y|^2.

Käyttö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sisätuloavaruuksien kolmioepäyhtälö todistetaan usein Cauchyn epäyhtälön avulla seuraavasti: Olkoon x ja y annetun sisätuloavaruuden kaksi vektoria. Tällöin

\|x + y\|^2 = \langle x + y, x + y \rangle
= \|x\|^2 + \langle x, y \rangle + \langle y, x \rangle + \|y\|^2
\le \|x\|^2 + 2|\langle x, y \rangle| + \|y\|^2
\le \|x\|^2 + 2\|x\|\|y\|+\|y\|^2
=  \left(\|x\| + \|y\|\right)^2

Ottamalla puolittain neliöjuuri saadaan kolmioepäyhtälö.

Cauchyn epäyhtälöä käytetään todistamaan Besselin epäyhtälö.