Borsukin–Ulamin lause

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Antipodipisteitä ovat kaikki pallopinnan Sn+1 vastakkaiset pisteparit (x, −x). Borsukin–Ulamin lauseen mukaan jokainen jatkuva funktio f : Sn+1 → Rn sisältää antipodipisteen x siten, että f(x)=f(-x).

Borsukin–Ulamin lause on eräs algebrallisen topologian merkittävimmistä tuloksista. Geometrisesti lause sanoo, että jos litistää pallon lattiatasoon, niin aina löytyy antipodipistepari (x, −x), joka kuvautuu samaan kohtaa päällekkäin. Tapaus n=1 (ympyrä) havainnollistaa vaikkapa sitä, että maapallon (mielivaltaisella) päiväntasaajalla on kaksi pistettä, joissa lämpötilat ovat samat. Edeltävä voidaan todistaa helposti, kun sovelletaan Bolzanon lausetta ympyrällä määriteltyyn kuvaukseen f(x) = g(x)-g(-x). Tapausta n=2 (pallo) havainnollistetaan usein sillä, että maapallon pinnalla on aina olemassa kaksi vastakkaista pistettä, joissa lämpötila ja ilmanpaine ovat samat. Kuvauksissa kaikkien fysikaalisten suureiden oletetaan muuttuvan jatkuvalla tavalla.

Borsukin–Ulamin lauseen otaksui Stanisław Ulam. Sen todisti Karol Borsuk vuonna 1933. On olemassa alkeellinen todistus sille, että Borsukin–Ulamin lauseesta seuraa Brouwerin kiintopistelause.

Seurauksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Mikään avaruuden Rn osajoukko ei ole homeomorfinen pallon Sn+1 kanssa. (Jos esim. pallo kuvataan jatkuvasti tasoon, niin antipodipisteiden kuvautuminen samaan pisteeseen ilmaiseen sen, ettei kuvaus voi olla injektio, eikä näin ollen homeomorfismikaan.)
  • Lusternikin-Schnirelmanin lause: Jos pallo Sn peitetään n + 1:llä avoimella joukolla, niin yksi joukoista sisältää antipodipisteet (x, −x). (Tämä tulos on ekvivalentti Borsukin–Ulamin lauseen kanssa.)
  • Stonen-Tukeyn lause eli Kinkkuvoileipälause: Kaikille kompakteille A_1,\ldots, A_n\in\mathbb{R}^n voidaan löytää (n-1)-ulotteinen hypertaso, joka jakaa kunkin Ai kahteen osajoukkoon, joiden n-uloitteiset Lebesguen mitat ovat yhtä suuret. (Kinkkuvoileipälause siis kertoo, että on olemassa veitsen leikkaus, jolla kolmesta aineksesta tehty voileipä voidaan jakaa yhdellä leikkauksella kaikkien ainesten osalta kahteen yhtäsuureen osaan. Itseasiassa lause on voimassa, vaikka voileipä heitettäisiin ensin tehosekoittimeen, sillä ko. "kuvauksessa" joukkojen mitta luonnollisesti säilyy.)