Borsukin–Ulamin lause

Borsukin–Ulamin lauseen mukaan jokainen jatkuva funktio n-pallolta eukliidiseen n-avaruuteen sisältää antipodipisteen.

Tapausta n=2 havainnollistetaan usein sillä, että maapallon pinnalla on aina olemassa kaksi vastakkaista pistettä, joissa lämpötila ja ilmanpaine ovat samat. Tässä molempien suureiden oletetaan muuttuvan jatkuvalla tavalla.

Borsukin–Ulamin lauseen otaksui Stanisław Ulam. Sen todisti Karol Borsuk vuonna 1933.

On olemassa alkeellinen todistus sille, että Borsukin–Ulamin lauseesta seuraa Brouwerin kiintopistelause.

Vahvempi Borsukin–Ulamin lauseen tapainen tulos on, että jokainen antipodin säilyttävä kuvaus

$f:\mathbb{S}^n\to\mathbb{S}^n$

on paritonasteinen.

Seurauksia

• Mikään avaruuden Rⁿ osajoukko ei ole homeomorfinen pallon Sⁿ kanssa.
• Jos pallo Sⁿ peitetään n + 1:llä avoimella joukolla, niin yksi joukoista sisältää antipodipisteet (x, −x).
• Kinkku voileipälause (eli kaikille kompakteille $A_1,\ldots, A_n\in\mathbb{R}^n$ voidaan löytää hypertaso, joka jakaa kunkin A_i kahteen osajoukkoon, joiden n-uloitteiset Lebesguen mitat ovat yhtä suuret.)