Arnoldin kissa

Arnoldin kissakuvaus sovellettuna valokuvaan kissasta. Kun funktiota on sovellettu 300 kertaa, kuva on palautunut entiselleen.

Arnoldin kissa on kaoottinen kuvaus torukselta itselleen. Se liittyy läheisesti dynaamisten systeemien toimintaan. Kuvaus on nimetty venäläisen matemaatikon, Vladimir Arnoldin mukaan, joka käytti kissaa esimerkkinä kuvauksen ominaisuuksista 1960-luvulla. Funktiona se on esimerkki Anosovin diffeomorfismista. Arnoldin kissakuvaus on

$q_{t+1} - 3q_t + q_{t-1} = 0 \;(\mathrm{mod} N)$

tai kanonisessa muodossa, määrittelemällä $p_t = q_t - q_{t-1}\,$ (vrt. Hamiltonin mekaniikka)

$\begin{cases} q_{t+1} = q_t + p_t \;(\mathrm{mod}N)\\ p_{t+1} = q_t + 2p_t \;(\mathrm{mod}N) \end{cases}$

Koska Arnoldin kissakuvauksen Jacobin determinantti on yksi, se on paitsi kääntyvä, myös säilyttää pinta-alat. Käänteiskuvaus on

$\begin{cases} q_{t-1} = 2q_t - p_t \;(\mathrm{mod} N)\\ p_{t-1} = -q_t + p_t \;(\mathrm{mod} N) \end{cases}$

Jos q ja p ovat reaalilukuja, yhtälöiden modulossa oleva kokonaisluku N valitaan tavallisesti ykköseksi, jolloin kyseessä on kuvaus yksikköneliöltä itselleen syklisin reunaehdoin. Esimerkki tästä on oheisessa kuvassa, jossa kuvausta sovelletaan valokuvaan kissasta.

Aiheesta muualla

• Arnoldin kissa Mathworldissa (englanniksi)
• Arnoldin kissa (englanniksi)