Alkulukupari

Alkulukupariksi eli alkulukukaksosiksi kutsutaan kahta alkulukua, joiden erotus on 2. Ensimmäisiä alkulukupareja ovat (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19) ja (29, 31). Alkulukupareja arvellaan olevan äärettömän monta, mutta tätä ei ole todistettu. 14. toukokuuta 2013 Zhang Yitang New Hampshiren yliopistosta julkaisi todistuksen, jonka mukaan on olemassa äärettömän monta alkulukua $p$ ja $p+k$, missä $1\leq k<70000000.$

Kaikki alkulukuparit lukuun ottamatta paria (3, 5) ovat muotoa (6n − 1, 6n + 1), missä n on luonnollinen luku, jonka täytyy päättyä lukuun 0, 2, 3, 5, 7 tai 8, lukuun ottamatta tapausta n = 1.

Clementin lauseen mukaan (m, m + 2) on alkulukupari, jos ja vain jos

$4((m-1)! + 1) = -m \mod (m(m+2)).$

Lisäksi on todistettu seuraava lause :

Olkoon $n\geq 3,n\ne 7$. Tällöin $n$ ja $n+2$ muodostavat alkulukuparin, jos ja vain jos $4(n-3)!+2+n$ on jaollinen $n$:llä muttei $n+2$:lla.

Sergusovin lauseen mukaan $n$ ja $n+2$ ovat alkulukuja jos ja vain jos

$\phi(m) \sigma(m)=(m - 3)(m + 1)$, missä $m = n(n+2)$ sekä funktio $\phi$ Eulerin funktio ja $\sigma$ luvun jakajien summan laskeva Sigma funktio.

Suurin tunnettu alkulukupari

Suurin tunnettu alkulukupari on 25. joulukuuta 2011 löydetty $3756801695685 \cdot 2^{666669}\pm 1$. Molemmissa alkulukuparin luvuissa on 200 700 numeroa.

Alkulukuparien määrä

Alkulukupareja arvellaan olevan äärettömän monta, mutta tätä ei ole todistettu. Niiden lukumäärä onkin lukuteorian suurimpia ratkaisemattomia ongelmia. Alkulukupareille on kuitenkin olemassa samankaltainen laskufunktio kuin alkuluvuillekin, $\pi_2(n)$, joka ilmaisee lukua n pienempien alkulukuparien määrän.

n	$\pi_2 (n)$
$10^2$	8
$10^3$	35
$10^4$	205
$10^5$	1 224
$10^6$	8 169
$10^7$	58 980
$10^8$	440 312
$10^9$	3 424 506
$10^{10}$	27 412 679
$10^{11}$	224 376 048
$10^{12}$	1 870 585 220
$10^{13}$	15 834 664 872
$10^{14}$	135 780 321 665