Alkulukupari

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Alkulukupariksi eli alkulukukaksosiksi kutsutaan kahta alkulukua, joiden erotus on 2. Ensimmäisiä alkulukupareja ovat (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19) ja (29, 31). Alkulukupareja arvellaan olevan äärettömän monta, mutta tätä ei ole todistettu. 14. toukokuuta 2013 Zhang Yitang New Hampshiren yliopistosta julkaisi todistuksen[1], jonka mukaan on olemassa äärettömän monta alkulukua p ja p+k, missä 2\leq k<70000000.[2] Myöhemmin k:n arvo on saatu pudotettua lukuun 246.[3]

Kaikki alkulukuparit lukuun ottamatta paria (3, 5) ovat muotoa (6n − 1, 6n + 1), missä n on luonnollinen luku, jonka täytyy päättyä lukuun 0, 2, 3, 5, 7 tai 8, lukuun ottamatta tapausta n = 1.

Clementin lauseen mukaan[4] (m, m + 2) on alkulukupari, jos ja vain jos

4((m-1)! + 1) = -m \mod (m(m+2)).

Lisäksi on todistettu seuraava lause [5]:

Olkoon n\geq 3,n\ne 7. Tällöin n ja n+2 muodostavat alkulukuparin, jos ja vain jos 4(n-3)!+2+n on jaollinen n:llä muttei n+2:lla.

Sergusovin lauseen mukaan n ja n+2 ovat alkulukuja jos ja vain jos

\phi(m) \sigma(m)=(m - 3)(m + 1), missä m = n(n+2) sekä funktio \phi Eulerin funktio ja \sigma luvun jakajien summan laskeva Sigma funktio.[6]selvennä[7]

Suurin tunnettu alkulukupari[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Suurin tunnettu alkulukupari on 25. joulukuuta 2011 löydetty 3756801695685 \cdot 2^{666669}\pm 1. Molemmissa alkulukuparin luvuissa on 200 700 numeroa.[8]

Alkulukuparien määrä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Alkulukupareja arvellaan olevan äärettömän monta, mutta tätä ei ole todistettu. Niiden lukumäärä onkin lukuteorian suurimpia ratkaisemattomia ongelmia. Alkulukupareille on kuitenkin olemassa samankaltainen laskufunktio kuin alkuluvuillekin, \pi_2(n), joka ilmaisee lukua n pienempien alkulukuparien määrän.

n
\pi_2 (n)
10^2 8
10^3 35
10^4 205
10^5 1 224
10^6 8 169
10^7 58 980
10^8 440 312
10^9 3 424 506
10^{10} 27 412 679
10^{11} 224 376 048
10^{12} 1 870 585 220
10^{13} 15 834 664 872
10^{14} 135 780 321 665

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.