Ääriarvo

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Matematiikassa funktion ääriarvo on funktion arvo sellaisessa pisteessä, että tämän pisteen jossakin ympäristössä olevissa pisteissä funktion arvo on aina joko suurempi tai yhtä suuri (minimi) tai pienempi tai yhtä suuri (maksimi) kuin ääriarvo. Ääriarvot voivat olla funktion maksimeja tai minimejä. Ääriarvot voivat olla paikallisia eli lokaaleja tai yleisiä eli globaaleja ääriarvoja. Jos funktio on derivoituva, on ääriarvokohdissa funktion derivaatta 0.

Paikallinen minimi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Funktion f paikallinen (lokaali) minimi välillä  [a,b] on  x^* \Leftrightarrow \exists \delta>0: f(x^*)\leq f(x) \quad \forall x \in [a,b]\cap \{x\in \R | \left| x-x^* \right|<\delta\}

Funktion f paikallinen (lokaali) minimi välillä [a,b] on x^* jos ja vain jos ehto f(x^*)\leq f(x) toteutuu kaikilla x , jotka kuuluvat väliin [a,b] ja ovat pisteen x^* lähellä.

Paikallinen maksimi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Funktion f paikallinen (lokaali) maksimi välillä  [a,b] on  x^* \Leftrightarrow \exists \delta>0: f(x^*)\geq f(x) \quad \forall x \in [a,b]\cap \{x\in \R | \left| x-x^* \right|<\delta\}

Funktion f paikallinen (lokaali) maksimi välillä [a,b] on x^* jos ja vain jos ehto f(x^*)\geq f(x) toteutuu kaikilla x , jotka kuuluvat väliin [a,b] ja ovat pisteen x^* lähellä.

Globaali minimi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Funktion f (globaali) minimi on x^* \Leftrightarrow f(x^*)\leq f(x) \forall x

Minimi on siis funktion kaikkein pienin arvo.

Globaali maksimi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Funktion f (globaali) maksimi on x^* \Leftrightarrow f(x^*)\geq f(x) \forall x

Maksimi on siis funktion kaikkein suurin arvo.

Funktion cos(3πx)/x paikallinen ja globaali maksimi ja minimi, kun 0.1≤x≤1.1

Ääriarvolauseita[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Funktiolla voi olla ääriarvokohta (ns. kriittiset pisteet)

  • derivaatan nollakohdissa
  • suljetun välin päätepisteissä
  • epäjatkuvuuskohdissa
  • kohdissa, joissa derivaatta ei ole olemassa

Jatkuvalla funktiolla on suljetulla välillä suurin ja pienin arvo.

Jos funktiolla on suurin arvo, se on yksi maksimeista. Jos funktiolla on pienin arvo, se on yksi minimeistä.


Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.