Tulon derivoimissääntö on matemaattinen kaava, jonka avulla voidaan laskea derivaatta funktiolle , joka sisältää derivoituvien funktioiden tulon .
Olkoot funktiot
f
{\displaystyle f\,\!}
g
{\displaystyle g\,\!}
x
{\displaystyle x\,\!}
h
(
x
)
=
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle h(x)=f(x)g(x)\,\!}
h
′
(
x
)
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\,\!}
(
f
⋅
g
)
′
=
f
′
⋅
g
+
f
⋅
g
′
{\displaystyle (f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'\,\!}
Todistetaan tulon derivoimissääntö derivaatan matemaattisen määritelmän, erotusosamäärän raja-arvon, avulla. Tämän määritelmän mukaan
f
′
(
a
)
=
lim
Δ
a
→
0
f
(
a
+
Δ
a
)
−
f
(
a
)
Δ
a
{\displaystyle f'\left(a\right)=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {f\left(a+\Delta a\right)-f\left(a\right)}{\Delta a}}}
h
(
x
)
=
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle h(x)=f(x)g(x)\,\!}
h
′
(
x
)
=
lim
Δ
x
→
0
h
(
x
+
Δ
x
)
−
h
(
x
)
Δ
x
.
(
1
)
{\displaystyle h'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{h(x+\Delta x)-h(x) \over \Delta x}.\qquad \qquad (1)}
(
1
)
{\displaystyle \qquad (1)}
f
{\displaystyle f\,\!}
g
{\displaystyle g\,\!}
h
′
(
x
)
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
+
Δ
x
)
g
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
Δ
x
.
(
2
)
{\displaystyle h'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x) \over \Delta x}.\qquad \qquad (2)}
f
(
x
)
g
(
x
+
Δ
x
)
{\displaystyle f(x)g(x+\Delta x)\,\!}
(
2
)
{\displaystyle \qquad (2)}
h
′
(
x
)
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
+
Δ
x
)
g
(
x
+
Δ
x
)
+
f
(
x
)
g
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
g
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
Δ
x
{\displaystyle h'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)+f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x) \over \Delta x}}
=
(
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
Δ
x
)
(
lim
Δ
x
→
0
g
(
x
+
Δ
x
)
)
+
f
(
x
)
(
lim
Δ
x
→
0
g
(
x
+
Δ
x
)
−
g
(
x
)
Δ
x
)
.
(
3
)
{\displaystyle =\left(\lim _{\Delta x\to 0}{f(x+\Delta x)-f(x) \over \Delta x}\right)\left(\lim _{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)\right)+f(x)\left(\lim _{\Delta x\to 0}{g(x+\Delta x)-g(x) \over \Delta x}\right).\qquad \qquad (3)}
f
′
(
x
)
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
Δ
x
{\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{f(x+\Delta x)-f(x) \over \Delta x}}
g
′
(
x
)
=
lim
Δ
x
→
0
g
(
x
+
Δ
x
)
−
g
(
x
)
Δ
x
{\displaystyle g'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{g(x+\Delta x)-g(x) \over \Delta x}}
lim
Δ
x
→
0
g
(
x
+
Δ
x
)
=
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)=g(x)}
(
3
)
{\displaystyle \qquad (3)}
h
′
(
x
)
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\,\!}
Derivoidaan ƒ (x ) = x 2 sin(x ). Koska x 2 :n derivaatta on 2x ja sin(x ):n derivaatta on cos(x ), niin tulon derivoimissääntöä käyttämällä saadaan ƒ '(x ) = 2x sin(x ) + x 2 cos(x ).
Tulon derivoimissääntöä voidaan käyttää myös useamman kuin kahden funktion yhtälöille. Esimerkiksi kolmen funktion tulon derivaatta on
(
u
⋅
v
⋅
w
)
′
=
u
′
⋅
v
⋅
w
+
u
⋅
v
′
⋅
w
+
u
⋅
v
⋅
w
′
{\displaystyle (u\cdot v\cdot w)'=u'\cdot v\cdot w+u\cdot v'\cdot w+u\cdot v\cdot w'}
Sääntö voidaan myös yleistää Leibnizin yleinen sääntö avulla n :n asteen derivaatalle:
(
u
v
)
(
n
)
(
x
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
⋅
u
(
n
−
k
)
(
x
)
⋅
v
(
k
)
(
x
)
.
{\displaystyle (uv)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot u^{(n-k)}(x)\cdot v^{(k)}(x).}
Katso myös binomilause and binomikerroin .
