Tulon derivoimissääntö

Tulon derivoimissääntö on matemaattinen kaava, jonka avulla voidaan laskea derivaatta funktiolle, joka sisältää derivoituvien funktioiden tulon.

Olkoot funktiot $f\,\!$$f\,\!$ ja $g\,\!$$g\,\!$ derivoituvia pisteessä $x\,\!$$x\,\!$ . Tällöin funktio $h(x)=f(x)g(x)\,\!$$h(x)=f(x)g(x)\,\!$ on derivoituva ja

$h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\,\!$$h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\,\!$ .

Tulon derivoimissääntö voidaan kirjoittaa myös yksinkertaisempaan muotoon:

$(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'\,\!$$(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'\,\!$ .

Todistus

Todistetaan tulon derivoimissääntö derivaatan matemaattisen määritelmän, erotusosamäärän raja-arvon, avulla. Tämän määritelmän mukaan

$f'\left(a\right)=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {f\left(a+\Delta a\right)-f\left(a\right)}{\Delta a}}$$f'\left(a\right)=\lim _{{\Delta a\to 0}}{\frac {f\left(a+\Delta a\right)-f\left(a\right)}{\Delta a}}$ .'

Olkoon funktio $h(x)=f(x)g(x)\,\!$$h(x)=f(x)g(x)\,\!$ derivoituva, ja todistetaan että

$h'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{h(x+\Delta x)-h(x) \over \Delta x}.\qquad \qquad (1)$$h'(x)=\lim _{{\Delta x\to 0}}{h(x+\Delta x)-h(x) \over \Delta x}.\qquad \qquad (1)$

Ilmaistaan yhtälö $\qquad (1)$$\qquad (1)$ funktioiden $f\,\!$$f\,\!$ ja $g\,\!$$g\,\!$ avulla

$h'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x) \over \Delta x}.\qquad \qquad (2)$$h'(x)=\lim _{{\Delta x\to 0}}{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x) \over \Delta x}.\qquad \qquad (2)$

Lisätään ja vähennetään termi $f(x)g(x+\Delta x)\,\!$$f(x)g(x+\Delta x)\,\!$ yhtälöön $\qquad (2)$$\qquad (2)$ ja järjestetään termit uudelleen:

$h'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)+f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x) \over \Delta x}$$h'(x)=\lim _{{\Delta x\to 0}}{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)+f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x) \over \Delta x}$

$=\left(\lim _{\Delta x\to 0}{f(x+\Delta x)-f(x) \over \Delta x}\right)\left(\lim _{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)\right)+f(x)\left(\lim _{\Delta x\to 0}{g(x+\Delta x)-g(x) \over \Delta x}\right).\qquad \qquad (3)$$=\left(\lim _{{\Delta x\to 0}}{f(x+\Delta x)-f(x) \over \Delta x}\right)\left(\lim _{{\Delta x\to 0}}g(x+\Delta x)\right)+f(x)\left(\lim _{{\Delta x\to 0}}{g(x+\Delta x)-g(x) \over \Delta x}\right).\qquad \qquad (3)$

Derivaatan määritelmän perusteella

$f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{f(x+\Delta x)-f(x) \over \Delta x}$$f'(x)=\lim _{{\Delta x\to 0}}{f(x+\Delta x)-f(x) \over \Delta x}$

ja

$g'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{g(x+\Delta x)-g(x) \over \Delta x}$$g'(x)=\lim _{{\Delta x\to 0}}{g(x+\Delta x)-g(x) \over \Delta x}$ .

Sen lisäksi nyt pätee

$\lim _{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)=g(x)$$\lim _{{\Delta x\to 0}}g(x+\Delta x)=g(x)$ ,

jolloin yhtälöstä $\qquad (3)$$\qquad (3)$ saadaan

$h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\,\!$$h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\,\!$ .

Esimerkkejä

Esimerkki 1

Derivoidaan ƒ(x) = x² sin(x). Koska x²:n derivaatta on 2x ja sin(x):n derivaatta on cos(x), niin tulon derivoimissääntöä käyttämällä saadaan ƒ '(x) = 2x sin(x) + x²cos(x).

Yleistyksiä

Useamman kuin kahden funktion tulo

Tulon derivoimissääntöä voidaan käyttää myös useamman kuin kahden funktion yhtälöille. Esimerkiksi kolmen funktion tulon derivaatta on

$(u\cdot v\cdot w)'=u'\cdot v\cdot w+u\cdot v'\cdot w+u\cdot v\cdot w'$$(u\cdot v\cdot w)'=u'\cdot v\cdot w+u\cdot v'\cdot w+u\cdot v\cdot w'$

Korkeamman asteen derivaatat

Sääntö voidaan myös yleistää Leibnizin yleinen sääntö avulla n:n asteen derivaatalle:

$(uv)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot u^{(n-k)}(x)\cdot v^{(k)}(x).$$(uv)^{{(n)}}(x)=\sum _{{k=0}}^{n}{n \choose k}\cdot u^{{(n-k)}}(x)\cdot v^{{(k)}}(x).$

Katso myös binomilause and binomikerroin.