Tulon derivoimissääntö

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Tulon derivoimissääntö on matemaattinen kaava, jonka avulla voidaan laskea derivaatta funktiolle, joka sisältää derivoituvien funktioiden tulon.

Olkoot funktiot ja derivoituvia pisteessä . Tällöin funktio on derivoituva ja


.


Tulon derivoimissääntö voidaan kirjoittaa myös yksinkertaisempaan muotoon:


.


Todistus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Todistetaan tulon derivoimissääntö derivaatan matemaattisen määritelmän, erotusosamäärän raja-arvon, avulla. Tämän määritelmän mukaan

.'


Olkoon funktio derivoituva, ja todistetaan että



Ilmaistaan yhtälö funktioiden ja avulla


Lisätään ja vähennetään termi yhtälöön ja järjestetään termit uudelleen:



Derivaatan määritelmän perusteella


ja

.


Sen lisäksi nyt pätee

,


jolloin yhtälöstä saadaan


.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Esimerkki 1[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Derivoidaan ƒ(x) = x2 sin(x). Koska x2:n derivaatta on 2x ja sin(x):n derivaatta on cos(x), niin tulon derivoimissääntöä käyttämällä saadaan ƒ '(x) = 2x sin(x) + x2cos(x).


Yleistyksiä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Useamman kuin kahden funktion tulo[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tulon derivoimissääntöä voidaan käyttää myös useamman kuin kahden funktion yhtälöille. Esimerkiksi kolmen funktion tulon derivaatta on


Korkeamman asteen derivaatat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sääntö voidaan myös yleistää Leibnizin yleinen sääntö avulla n:n asteen derivaatalle:

Katso myös binomilause and binomikerroin.