Ero sivun ”Stefanin–Boltzmannin laki” versioiden välillä
[arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
p Botti muokkasi: zh:斯特藩-玻尔兹曼定律 |
p en dash |
||
Rivi 10: | Rivi 10: | ||
Lain havaitsi kokeellisesti [[Jožef Stefan]] vuonna [[1879]]. Teoreettisesti sen johti [[termodynamiikka|termodynamiikan]] pohjalta [[Ludwig Boltzmann]] vuonna [[1884]]. Stefanin–Boltzmannin lain voi johtaa myös [[Planckin laki mustan kappaleen säteilystä|Planckin säteilylakia]] [[integrointi|integroimalla]]. |
Lain havaitsi kokeellisesti [[Jožef Stefan]] vuonna [[1879]]. Teoreettisesti sen johti [[termodynamiikka|termodynamiikan]] pohjalta [[Ludwig Boltzmann]] vuonna [[1884]]. Stefanin–Boltzmannin lain voi johtaa myös [[Planckin laki mustan kappaleen säteilystä|Planckin säteilylakia]] [[integrointi|integroimalla]]. |
||
== |
==Stefanin–Boltzmannin lain johtaminen Planckin laista integroimalla== |
||
Integroidaan [[Planckin laki]] kaikkien taajuuksien yli, jotta saamme mustan kappaleen säteilyn kokonaisenergian |
Integroidaan [[Planckin laki]] kaikkien taajuuksien yli, jotta saamme mustan kappaleen säteilyn kokonaisenergian |
||
Rivi 34: | Rivi 34: | ||
= \sigma T^4 |
= \sigma T^4 |
||
</math>, |
</math>, |
||
josta määrittelemme |
josta määrittelemme Stefanin–Boltzmannin vakioksi <math>\sigma = \frac{ac}{4} = 5.67 \times 10^{-8} \ \mathrm{T^4 \ W \ m^{-2}}</math> |
||
== Esimerkki == |
== Esimerkki == |
||
Stefanin–Boltzmannin lain avulla voidaan laskea arviot Aurinkokunnan planeettojen pintalämpötiloille. Seuraavan taulukon lämpötilat on laskettu Aurinkoa kunkin planeetan keskietäisyydellä kiertäville täysin mustille palloille. Pallo vastaanottaa tällöin Auringon säteilyä poikkileikkauksensa suuruisella ympyrän pinta-alalla ja säteilee mustan kappaleen säteilyä neljä kertaa suuremmalla pallon pinta-alalla. Asettamalla vastaanotetun säteilyn määrä yhtä suureksi kuin ympäristöön säteilty energiamäärä, voidaan tasapainotilanteen lämpötila laskea. |
|||
Taulukon perusteella näyttäisi Venuksella vaikuttavan erittäin voimakas kasvihuoneilmiö. Marsissa näyttäisi toimivan vastakkainen ilmiö. Tämä johtunee siitä, että Marsin pinta on Auringon lämpötilaa vastaavilla säteilyn aallonpituuksilla 'mustempi' kuin planeetan omaa lämpötilaa vastaavilla aallonpituuksilla. Muilla planeetoilla laskennalliset ja havaitut lämpötilat näyttäisivät hyvin vastaavan toisiaan. |
Taulukon perusteella näyttäisi Venuksella vaikuttavan erittäin voimakas kasvihuoneilmiö. Marsissa näyttäisi toimivan vastakkainen ilmiö. Tämä johtunee siitä, että Marsin pinta on Auringon lämpötilaa vastaavilla säteilyn aallonpituuksilla 'mustempi' kuin planeetan omaa lämpötilaa vastaavilla aallonpituuksilla. Muilla planeetoilla laskennalliset ja havaitut lämpötilat näyttäisivät hyvin vastaavan toisiaan. |
Versio 30. maaliskuuta 2009 kello 16.13
Stefanin–Boltzmannin laki on fysikaalinen laki, jonka mukaan mustan kappaleen säteilemä teho pinta-alaa kohti on suoraan verrannollinen lämpötilan neljänteen potenssiin:
Verrannollisuuskerrointa σ kutsutaan Stefanin–Boltzmannin vakioksi. Sen arvo on
- .
Siten musta kappale, jonka pinta-ala on 1 cm2, säteilee lämpötilassa 1000 K suunnilleen teholla 5,7 W.
Lain havaitsi kokeellisesti Jožef Stefan vuonna 1879. Teoreettisesti sen johti termodynamiikan pohjalta Ludwig Boltzmann vuonna 1884. Stefanin–Boltzmannin lain voi johtaa myös Planckin säteilylakia integroimalla.
Stefanin–Boltzmannin lain johtaminen Planckin laista integroimalla
Integroidaan Planckin laki kaikkien taajuuksien yli, jotta saamme mustan kappaleen säteilyn kokonaisenergian
- .
Sijoitetaan ,
- .
Yhtälön oikea puoli on standardi-integraali, jonka arvo on , jolloin
- , missä
Laskeaksemme säteillyn (kokonais)energian per sekunti per pinta-ala absoluuttisessa lämpötilassa T, voimme ajatella säteilyn fotoneja kaasuhiukkasina, joiden keskinopeus on c. Silloin fotonivuo on
- , missä N on fotonien määrällinen tiheys.
Koska musta kappale on täydellinen absorboija, on se myös täydellinen emittoija, jolloin säteilty energia per sekunti, eli teho, I on , koska . Nyt saamme
- ,
josta määrittelemme Stefanin–Boltzmannin vakioksi
Esimerkki
Stefanin–Boltzmannin lain avulla voidaan laskea arviot Aurinkokunnan planeettojen pintalämpötiloille. Seuraavan taulukon lämpötilat on laskettu Aurinkoa kunkin planeetan keskietäisyydellä kiertäville täysin mustille palloille. Pallo vastaanottaa tällöin Auringon säteilyä poikkileikkauksensa suuruisella ympyrän pinta-alalla ja säteilee mustan kappaleen säteilyä neljä kertaa suuremmalla pallon pinta-alalla. Asettamalla vastaanotetun säteilyn määrä yhtä suureksi kuin ympäristöön säteilty energiamäärä, voidaan tasapainotilanteen lämpötila laskea.
Taulukon perusteella näyttäisi Venuksella vaikuttavan erittäin voimakas kasvihuoneilmiö. Marsissa näyttäisi toimivan vastakkainen ilmiö. Tämä johtunee siitä, että Marsin pinta on Auringon lämpötilaa vastaavilla säteilyn aallonpituuksilla 'mustempi' kuin planeetan omaa lämpötilaa vastaavilla aallonpituuksilla. Muilla planeetoilla laskennalliset ja havaitut lämpötilat näyttäisivät hyvin vastaavan toisiaan.
Vertailun vuoksi taulukko sisältää myös Pluton, vaikka sitä ei nykyisin enää luetakaan planeettoihin kuuluvaksi.
Planeetta | Etäisyys Auringosta/AU | Laskettu lämpötila/K | Laskettu lämpötila/°C | Havaittu lämpötila/°C |
Merkurius | 0,387 | 447 | 174 | 179 |
Venus | 0,723 | 327 | 54 | 452 |
Maa | 1,000 | 278 | 5 | 14 |
Mars | 1,523 | 226 | −48 | −123–−60 |
Jupiter | 5,203 | 122 | −151 | −153 |
Saturnus | 9,541 | 90 | −183 | −185 |
Uranus | 19,19 | 64 | −210 | −214 |
Neptunus | 30,09 | 51 | −223 | −225 |
Pluto | 39,51 | 44 | −229 | −236 |