Ero sivun ”Matemaattinen induktio” versioiden välillä
Siirry navigaatioon
Siirry hakuun
[arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Rivi 31: | Rivi 31: | ||
#: ''Induktioväite: P(n + 1)'' on tosi. |
#: ''Induktioväite: P(n + 1)'' on tosi. |
||
#: <math>0+1+2+ \dots +n+(n+1) = \frac{(n+1) \cdot ((n + 1)+1)}{2}</math> |
#: <math>0+1+2+ \dots +n+(n+1) = \frac{(n+1) \cdot ((n + 1)+1)}{2}</math> |
||
#: Koska yllä todettiin jo, että kaava pätee arvolla ''n = 0'' ja induktioväitteen mukaan myös arvolla ''n + 1'', voidaan tehdä sijoitus <math>(0 + 1 + 2 + n) = n(n+1)/2</math> |
#: Koska yllä todettiin jo, että kaava pätee arvolla ''n = 0'' ja induktioväitteen mukaan myös arvolla ''n + 1'', voidaan tehdä sijoitus <math>(0 + 1 + 2 + n) = n(n+1)/2</math>. |
||
#: <math>\frac{n \cdot (n+1)}{2}+(n+1) = \frac{(n+1) \cdot ((n + 1)+1)}{2}</math> |
#: <math>\frac{n \cdot (n+1)}{2}+(n+1) = \frac{(n+1) \cdot ((n + 1)+1)}{2}</math> |
||
#: Jos yhtälön vasen puoli saadaan saatettua muotoon <math>\frac{(n+1) \cdot ((n + 1)+1)}{2}</math>, on induktiotodistus saatettu loppuun. |
#: Jos yhtälön vasen puoli saadaan saatettua muotoon <math>\frac{(n+1) \cdot ((n + 1)+1)}{2}</math>, on induktiotodistus saatettu loppuun. |
Versio 6. joulukuuta 2008 kello 16.01
Matemaattinen induktio on matemaattinen todistus, joka kuuluu matemaattisen algebran päähaaraan.
Matemaattinen induktio perustuu induktioperiaatteeseen, jolla todistetaan luonnollista lukua koskeva väite todeksi kaikilla :n arvoilla, esimerkiksi . Tämä perustuu siihen, että jos joukolle A pätee
- 1) ja
- 2) Ehdosta ,
niin .
Matemaattinen induktio koostuu kolmesta vaiheesta:
- Perusaskel
- Osoitetaan, että on tosi
- Induktioaskel
- Induktio-oletus: on tosi arvolla
- Induktioväite: tosi arvolla
- Todistus: todistetaan, että oletuksesta seuraa väitös
- Johtopäätös
- Induktioaskeleessa todistettiin, että on tosi aina seuraavalla :n arvolla.
- Tämän induktioperiaatteen mukaan on tosi kaikilla :n luonnollisilla arvoilla.
Esimerkki
Todistetaan esimerkissä kaava .
- Perusaskel:
- Todistetaan, että P(0) pätee:
- Induktioaskel:
- Induktio-oletus: P(n) on tosi. (Varmaksi tiedetään jo P(0) paikkansapitävyys).
- Induktioväite: P(n + 1) on tosi.
- Koska yllä todettiin jo, että kaava pätee arvolla n = 0 ja induktioväitteen mukaan myös arvolla n + 1, voidaan tehdä sijoitus .
- Jos yhtälön vasen puoli saadaan saatettua muotoon , on induktiotodistus saatettu loppuun.
Tästä siis seuraa, että kaava pätee arvolla n + 1. Kaavan todettiin alussa pitävän paikkansa, kun n = 0. Tästä seuraa, että kaava on tosi myös arvolla n = 0 + 1. Seurauksena taas tästä kaava pitää myös paikkansa arvoilla