Ero sivun ”Hamiltonin mekaniikka” versioiden välillä

Siirry navigaatioon Siirry hakuun
360 merkkiä lisätty ,  14 vuotta sitten
muotoilua
p (Botti lisäsi: pt:Mecânica hamiltoniana)
(muotoilua)
'''Hamiltonin mekaniikka''' on irlantilaisen [[William Rowan Hamilton]]in vuonna [[1833]] esittämä lähestymistapa [[klassinen mekaniikka|klassiseen mekaniikkaan]]. Se muistuttaa jonkin verran [[Lagrangen mekaniikka]]a ja useimmissa oppikirjoissa Hamiltonin mekaniikan käsittelyyn siirrytäänkin Lagrangen mekaniikan tulosten kautta. Hamiltonin mekaniikka voidaan kuitenkin johtaa myös kokonaan Lagrangen mekaniikasta riippumatta, joten[[symplektinen monisto|symplektisten monistojen]] teorian pohjalta. Tämän vuoksi se muodostaa aidosti erilaisen lähestymistavan.
 
Hamiltonin mekaniikka on nykyisin mekaniikan perusformalismi käytännössä kaikessa mekaniikkaan liittyvässä tutkimuksessa. Aivan erityisen tehokkaaksi työkaluksi se on osoittautunut [[kvanttimekaniikka|kvanttimekaniikassa]], jonka formalismimatemaattinen kuvaus perustuu käytännössä kokonaan Hamiltonin mekaniikkaan.
Olkoon <math>q_i\,</math> tutkittavan systeemin (yleistetyt) paikkakoordinaatit ja <math>\dot{q}_i</math> vastaavat yleistetyt nopeudet. Nyt systeemiä kuvaa [[Lagrangen mekaniikka|Lagrangen funktio]] <math>L</math>. Määritellään uusi, nopeutta muistuttava suure, '''konjugoitu impulssi'''
 
== Hamiltonin yhtälöt ==
 
Olkoon <math>q_i\,</math> tutkittavan systeemin (yleistetyt) paikkakoordinaatit ja <math>\dot{q}_i</math> vastaavat yleistetyt nopeudet. Nyt systeemiä kuvaa [[Lagrangen mekaniikka|Lagrangen funktio]] <math>L</math>. Määritellään uusi, hieman nopeutta muistuttava suure, '''konjugoitu impulssi'''
 
:<math>p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}</math>.
 
Kannattaa huomata, että suoraviivaisen liikkeen tapauksessa <math>\dot{q}</math>:t ovat nopeuksia ja konjugoitu impulssi vastaa täsmälleen kappaleen [[liikemäärä]]ä. Pyörimisliikkeen tapauksessa <math>\dot{q}</math>:t ovat kulmanopeuksia ja konjugoidun impulssin määritelmä vastaa kappaleen [[pyörimismäärä]]ä. Konjugoitu impulssi on siis eräänlainen liikemäärän yleistys.
 
Määritellään nyt uusi funktio
:<math>\frac{\partial H}{\partial t} = -\frac{\partial L}{\partial t}</math>
 
Kaksi ensimmäistä yhtälöä ovat systeemin '''Hamiltonin yhtälöt''' eli '''kanoniset yhtälöt'''. Ne muodostavat jokaista systeemiin kuuluvaa kappaletta kohti 2N ensimmäisen kertaluvun [[differentiaaliyhtälö]]n ryhmää. Tämä ei kuitenkaan yleensä haittaa, sillä 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen on ryhmänäkin huomattavasti helpompaa kuin korkeamman kertaluvun yhtälöt, joiden ratkaisemiseen [[Newtonin mekaniikka|Newtonin]] ja Lagrangen lähestymistavat johtavat. Lisäksi osoittautuu, että Hamiltonin yhtälöiden muoto on matemaattiselta kannalta aivan erityisen oivallinen., Yhtälöilläsillä onyhtälöillä myöson syvällinen yhteys fysikaalisen systeemin toimintaan.
 
Viimeinen yhtälö ei ole varsinainen liikeyhtälö, mutta se osoittaa, että <math>H</math> riippuu ajasta vain ja ainoastaan silloin jos aika esiintyy Hamiltonin funktiossa eksplisiittisesti. Toisin sanoen Hamiltonin funktio on (niitä hyvin epätavallisia poikkeuksia, joissa aika esiintyy, lukuun ottamatta) säilyvä suure. VoidaanVoidaankin osoittaa, että Hamiltonin funktio vastaa systeemin kokonaisenergiaa.
 
Hamiltonin mekaniikka on mekaniikan perusformalismi käytännössä kaikessa mekaniikkaan liittyvässä tutkimuksessa. Aivan erityisen tehokkaaksi työkaluksi se on osoittautunut [[kvanttimekaniikka|kvanttimekaniikassa]], jonka formalismi perustuu käytännössä kokonaan Hamiltonin mekaniikkaan.
 
== Esimerkki: yksiulotteinen oskillaattori ==
:<math>V = \frac{1}{2}cx^2</math>,
missä <math>m</math> on kappaleen massa ja <math>c</math> vakio. Systeemiä kuvaava Lagrangen funktio on (ks. artikkeli [[Lagrangen mekaniikka]])
:<math>L = T - V = \frac{1}{2}m \dot{x}^2 - \frac{1}{2}cx^2</math>
ja koordinaattia <math>x</math> vastaava yleistetty impulssi saadaan derivoimalla <math>\dot{x}</math>:n suhteen:
:<math>p = m \dot{x}</math> (huomaa, että tämä on täsmälleen kappaleen liikemäärä).
Hamiltonin funktion kirjoittamista varten täytyy ratkaista tästä <math>\dot{x}</math> impulssin <math>p</math> avulla, jolloin saadaan <math>\dot{x} = p/m</math> ja sijoitetaan
:<math>H = \frac{p}{m}\cdot p - (\frac{p^2}{2m} - \frac{1}{2}cx^2) = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}cx^2</math>.
NytTämä <math>H</math> on systeemiä kuvaava Hamiltonin funktio, jota derivoimalla voidaan kirjoittaa lopulliset Hamiltonin yhtälöt:
:<math>
\left\{
\end{matrix}
\right.</math>
DerivoimallaTässä tapauksessa yhtälöpari ratkeaa helposti analyyttisesti, kun derivoidaan ensimmäinen yhtälö ajan suhteen ja sijoittamallasijoittetaan se jälkimmäinenjälkimmäiseen. päädytäänTulokseksi kappaleensaadaan liikeyhtälöönliikeyhtälö
:<math>\ddot{x} = -\frac{c}{m} x</math>,
jonka ratkaisuna saadaanon
:<math>x = A_1 \sin(\sqrt{c/m}\;t) + A_2 \cos(\sqrt{c/m}\;t)</math> eli x-akselin suunnassa tapahtuva sinimuotoinen liike.
 
6 777

muokkausta

Navigointivalikko