Ero sivun ”Asymptootti” versioiden välillä
[arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Ei muokkausyhteenvetoa |
Ei muokkausyhteenvetoa |
||
Rivi 1: | Rivi 1: | ||
'''Asymptootti''' on [[suora]] tai [[käyrä]] ''A'', jota toinen käyrä ''B'' lähestyy [[äärettömyys|äärettömyydessä]]. Kun ''B'':tä kuljetaan eteenpäin rajatta, etäisyys ''A'':n ja ''B'':n välillä kutistuu kohti [[0 (luku)|nollaa]]. On myös mahdollista, että käyrä leikkaa asymptoottiaan, jopa äärettömän monta kertaa. |
'''Asymptootti''' on [[suora]] tai [[käyrä]] ''A'', jota toinen käyrä ''B'' lähestyy [[äärettömyys|äärettömyydessä]]. Kun ''B'':tä kuljetaan eteenpäin rajatta, etäisyys ''A'':n ja ''B'':n välillä kutistuu kohti [[0 (luku)|nollaa]]. On myös mahdollista, että käyrä leikkaa asymptoottiaan, jopa äärettömän monta kertaa. |
||
[[image:Asymptote02 vectorial.svg| |
[[image:Asymptote02 vectorial.svg|right|thumb|320px|Käyrä voi leikata asymptoottiaan jopa äärettömän monta kertaa.]] |
||
[[image:1-over-x.png|right|thumb|320px|1/x:n kuvaaja. x- ja y-akselit ovat tämän [[hyperbeli]]n asymptootteja.]] |
[[image:1-over-x.png|right|thumb|320px|1/x:n kuvaaja. x- ja y-akselit ovat tämän [[hyperbeli]]n asymptootteja.]] |
Versio 21. maaliskuuta 2013 kello 02.03
Asymptootti on suora tai käyrä A, jota toinen käyrä B lähestyy äärettömyydessä. Kun B:tä kuljetaan eteenpäin rajatta, etäisyys A:n ja B:n välillä kutistuu kohti nollaa. On myös mahdollista, että käyrä leikkaa asymptoottiaan, jopa äärettömän monta kertaa.
Asymptootit ja funktion kuvaaja
Asymptootit määritellään raja-arvon avulla:
Olkoon f funktio. Tällöin suora y=a on f:n vaakasuora asymptootti, jos
Intuitiivisesti tämä tarkoittaa sitä, että itseisarvoltaan suurilla x:n arvoilla f(x) on suunnilleen yhtä suuri kuin a ja approksimaatio tarkentuu, kun x kasvaa tai pienenee. Siten äärettömyydessä (tai miinus äärettömyydessä) käyrä lähestyy suoraa.
Huomaa, että jos
on funktion f kuvaajalla kaksi vaakasuoraa asymptoottia: y=a ja y=b. Esimerkiksi arkustangentti käyttäytyy tällä tavoin.
Suora x=a on funktion f pystysuora asymptootti, jos jompikumpi seuraavista ehdoista on voimassa:
Intuitiivisesti jos x=a on f:n asymptootti, voidaan ajatella, että kun x lähestyy a:ta jommaltakummalta puolelta, f(x) kasvaa tai vähenee rajatta.
Esimerkki asymptootista löytyy funktion f(x)=1/x kuvaajasta, jonka asymptootteina ovat koordinaattiakselin x = 0 ja y = 0.
Huomaa, että f(x):n ei tarvitse olla määritelty a:ssa. Funktion arvolla pisteessä x=a ei ole asymptootin käyttäytymiseen vaikutusta. Tarkastellaan esimerkiksi funktiota
Kun , f(x):llä on pystysuora asymptootti 0:ssa, vaikka .
Funktion asymptoottien ei tarvitse olla x- tai y-akselin suuntaisia. Esimerkiksi funktion f(x)=x +1/x asymptootteina ovat y-akseli ja suora y = x.
Jos y = m x + b on mikä tahansa ei-pystysuora suora, on funktiolla f(x) tämä suora asymptoottina, jos ja vain jos
Toisia merkityksiä
Funktio f(x) sanotaan lähestyvän asymptoottisesti funktiota g(x), kun x → ∞. Tällä voidaan tarkoittaa seuraavia asioita:
- f(x) − g(x) → 0.
- f(x) / g(x) → 1.
- f(x) / g(x) → a ≠ 0.
- f(x) / g(x) on rajoitettu eikä lähesty nollaa.