Schanuelin konjektuuri

Schanuelin otaksuma on seuraava transkendenttisten lukujen teoriaan liittyvä avoin ongelma:

Olkoon annettu n Q:n suhteen lineaarisesti riippumatonta kompleksilukua z₁,...,z_n. Tällöin kuntalaajennuksella Q(z₁,...,z_n,exp(z₁),...,exp(z_n)) on transkendenttinen aste Q:n suhteen on vähintään n.

Otaksuman esitti Stephen Schanuel 1960-luvulla ja se löytyy esimerkiksi Serge Langin kirjasta . Otaksumaa ei ole kyetty ratkaisemaan tai osoittamaan epätodeksi.

Jos otaksuma pitää paikkansa, siitä seuraa muun muassa Lindemannin–Weierstrassin lause, Gelfondin–Schneiderin lause ja useita muita eksponenttifunktioita koskevia trankendenttisia ominaisuuksia, kuten esimerkiksi lukujen π ja e algebrallinen riippumattomuus.

Scott W. Williams on formuloinut seuraavan käänteisen Schanuelin otaksuman:

Olkoon F numeroituva kunta, jonka karakteristika on nolla ja e : F → F on homomorfismi additiiviselta ryhmältä (F,+) multiplikatiiviselle ryhmälle (F,·), jonka ydin on syklinen. Oletetaan edelleen, että mitkä tahansa n F:n alkiota x₁,...,x_n ovat lineaarisesti riippumattomia Q:n suhteen ja Q:n laajennuksen Q(x₁,...,x_n,e(x₁),...,e(x_n)) transkendenttinen aste Q:n suhteen on vähintään n. Tällöin on olemassa kuntahomomorfismi h : E → C jolle h(e(x))=exp(h(x)) kaikilla F:n alkioilla x.

Schanuelin otaksuman potenssisarjoille todisti James Ax vuonna 1971. Sen mukaan:

Olkoon annettu mitkä tahansa n Q:n suhteen lineaarisesti riippumatonta potenssisarjaa f₁,...,f_n in tC[[t]]:ssä. Tällöin C(t):n laajennuksen C(t,f₁,...,f_n,exp(f₁),...,exp(f_n)) transkendenttinen aste C(t):n suhteen on vähintään n.