Ptolemaioksen lause

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Syklinen nelikulmio, jolle pätee Ptolemaioksen ensimmäinen- ja toinen lause.
Yleinen nelikulmio, joka ei ole syklinen. Tälle pätee Ptolemaioksen epäyhtälö.

Ptolemaioksen lauseet ovat geometriassa nelikulmioihin liittyviä tuloksia. Kuuluisimpia Klaudios Ptolemaioksen nimiin kirjattuja tuloksia ovat syklisiin nelikulmioihin liittyvä yhtälö ja yleisiin nelikulmioihin liittyvä epäyhtälö. Näiden avulla hän muun muassa johti eräitä trigonometrian summakaavoja.[1][2][3]

Ptolemaioksen lause[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ptolemaios todisti konveksille sykliselle nelikulmiolle seuraavan lauseen (kuvan merkinnöillä):

[4]

eli vastaisten sivujen tulojen summa on sama kuin lävistäjien tulo (todistus [4]).

Pythagoraan lause[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos nelikulmio on (syklinen) suorakulmio, ovat vastaiset sivut yhtäpitkät. Nimeämällä kärjen A mukaan AB = CD ja AC = BD ja toteamalla lävistäjien olevan yhtäpitkät AD = BC, saadaan

eli

Tämä on Pythagoraan lause suorakulmaiselle kolmiolle, jota mainitut sivut merkitsevät.[5]

Ptolemaioksen toinen lause[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ptolemaios huomasi toisenkin ominaisuuden. Syklisen nelikulmion lävistäjät ovat verrannollisia lävistäjän päätepisteistä lähtevien sivujen tulojen summaan. Esimerkiksi lävistäjän AC päätepisteestä A lähtee sivut AB ja AD ja päätepisteestä C lähtee sivut CB ja CD. Verrannollisuus on esitettävissä

Lävistäjien suhde on siten (todistus [5])

[5]

Ptolemaioksen epäyhtälö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ensimmäisen lauseen mukaan nelikulmion ABCD sivujen ja lävistäjien pituuksille voidaan esittää

.

Epäyhtälö on voimassa kaikille nelikulmioille, mutta yhtäsuuruus on voimassa vain syklisille nelikulmioille.[6]

Ptolemaioksen epäyhtälön todistus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tarkastellaan nelikulmiota ABCD. Konstruoidaan nyt piste E siten, että kolmiot ACD ja AEB ovat yhdenmuotoiset( ja ). Tällöin joten Koska myös , on , sillä kolmiot ja ovat yhteneviä. Siten Siten on jännenelikulmio, joten Siten pisteet ja ovat samalla suoralla, joten . Nyt saadaan siis Kertomalla yhtälö puolittain :llä saadaan

Oletetaan sitten, että ei ole jännenelikulmio. Tällöin joten pisteet , ja muodostavat kolmion. Siten kolmioepäyhtälön nojalla on voimassa . Edelleen saadaan aiemmin johdetusta identiteetistä Siis Nämä yhdessä antavat Ptolemaioksen ensimmäisen lauseen: , missä yhtäsuuruus esiintyy vain jos on jännenelikulmio.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Weisstein, Eric W.: Ptolemy's Theorem (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  2. Weisstein, Eric W.: Ptolemy Inequality (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  3. Weisstein, Eric W.: Cyclic Quadrilateral (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  4. a b Yiu, P.: Euclidean Geometry (luentomoniste, s.148-152) http://math.fau.edu/yiu/Geometry.html. 1998. Florida Atlantic University. Viitattu 25.9.2013.
  5. a b c http://geome3atc.wordpress.com/2010/08/06/ptolemys-theorems/
  6. Wells, David: The Penquin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, s. 200-201. Englanti: Penguin Group, 1991. ISBN 0-14-011813-6. (englanniksi)