Perusryhmä

Perusryhmä on algebrallisen topologian käsite, jonka avulla topologisia avaruuksia voidaan tutkia ryhmäteoreettisesti.

Kansantajuinen selitys

Topologinen avaruus, jossa on reikiä.

Perusryhmän avulla voidaan vertailla topologisia avaruuksia. Tavallisista vektoriavaruuksista poiketen topologiset avaruudet voivat olla kaareutuneita, epäyhtenäisiä tai niissä voi olla reikiä.

Käytännössä avaruudesta valitaan piste, jonka ympärille muodostetaan silmukoita. Silmukoita voi havainnollistaa venyvien köysien avulla. Jos kaksi silmukkaa voidaan venyttää toisikseen, niin niitä pidetään tässä tapauksessa samanlaisina. Perusryhmä on erilaisten silmukoiden ryhmä. Esimerkiksi silmukkaa, joka kulkee avaruudessa olevan reiän ympäri ei voida venyttää sellaiseksi silmukaksi, joka ei kulje reiän ympäri. Siksi reiättömän avaruuden perusryhmä on aina eri kuin reiällisen avaruuden perusryhmä.

Määritelmä

Perusryhmän tavallisin määritelmä pohjautuu vahvasti homotopian käsitteelle. Sen avulla voidaan täsmällisesti ilmaista, miten kaksi silmukkaa voidaan muuttaa toisikseen.

Polkuhomotopia ja silmukkajoukko

Kaksi vahvennettua polkua ovat keskenään homotooppiset. Kuva havainnollistaa, kuinka ne voidaan muuntaa jatkuvalla kuvauksella toisikseen.

Jatkossa ${\mathcal {I}}$ tarkoittaa yksikköväliä.

Homotopian määritelmä: Topologisien avaruuksien ${\mathcal {X}}=(X,{\mathcal {T}}_{1})$ ja ${\mathcal {Y}}=(Y,{\mathcal {T}}_{2})$ väliset jatkuvat kuvaukset $f,g\colon {\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}$ ovat homotooppiset, jos on olemassa jatkuva kuvaus $h\colon {\mathcal {X}}\times {\mathcal {I}}\to {\mathcal {Y}},$ jolle $h(x,0)=f(x)$ ja $h(x,1)=g(x)$. Homotopiaa merkitään $h\colon f\simeq g$.

Suhteellisen homotopian määritelmä: Kuvaukset $f,g\colon {\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}$ ovat homotooppiset joukon $A\subset X$ suhteen, jos on olemassa homotopia $h\colon f\simeq g$, jonka rajoittumalle on voimassa $\left.h(x,t)\right|_{A}=\left.f(x)\right|_{A}=\left.g(x)\right|_{A}$ kaikilla $t\in {\mathcal {I}}$. Tätä merkitään $h\colon f\simeq g\,{\text{rel}}\,A$.

Polkuhomotopian määritelmä: Polut $\alpha ,\beta \colon {\mathcal {I}}\to {\mathcal {X}}$ ovat polkuhomotooppiset, jos on olemassa homotopia $h$ polkujen päätepisteiden $0$ ja $1$ suhteen eli $h\colon \alpha \simeq \beta {\text{ rel}}\{0,1\}$. Tätä merkitään $h\colon \alpha \sim \beta$.

Silmukkajoukon määritelmä: Polkua $\alpha \colon {\mathcal {I}}\to {\mathcal {X}}$, jonka alku- ja loppupisteet ovat samat, eli jolle pätee $\alpha (0)=\alpha (1)$, kutsutaan silmukaksi ja kantapisteavaruuden $({\mathcal {X}},x_{0})$ joukkoa $\Omega ({\mathcal {X}},x_{0})=\left\{\alpha \colon {\mathcal {I}}\to {\mathcal {X}}\ |\ \alpha (0)=x_{0}=\alpha (1)\right\}$ kutsutaan silmukkajoukoksi.

Perusryhmä

Koska polkuhomotopia on ekvivalenssirelaatio, niin perusryhmä voidaan määritellä yksikäsitteisesti tekijäjoukon avulla.

Perusryhmän määritelmä: Olkoon $\Omega ({\mathcal {X}},x_{0})$ silmukkajoukko. Siitä muodostettua tekijäjoukkoa $\pi ({\mathcal {X}},x_{0})=\Omega ({\mathcal {X}},x_{0})/{\sim },$ jossa ${\sim }$ on polkuhomotopian määräämä ekvivalenssirelaatio, kutsutaan nimellä perusryhmä eli ensimmäinen homotopiaryhmä.

Eräiden avaruuksien perusryhmiä

Ympyrä

Ympyrän silmukoita, jotka kuuluvat eri ekvivalenssiluokkiin

Ympyrän perusryhmä koostuu silmukoiden luokista. Luokat määräytyvät kierrettyjen kierrosten lukumäärän ja suunnan perusteella.

Voidaan osoittaa, että ympyrän perusryhmä on isomorfinen kokonaislukujen ryhmän kanssa, jonka laskutoimituksena on yhteenlasku. Tällöin vaikkapa kolmesti vastapäivään menevän silmukan ja viidesti myötäpäivään menevän silmukan yhdiste vastaa yhteenlaskua $(-3)+5=2$ eli tulos on kaksi kierrosta myötäpäivään kulkeva silmukka.

Pallo

Pallon silmukat voidaan kutistaa pisteeksi.

Pallon pinnan perusryhmä on triviaali ryhmä, koska sen jokainen silmukka voidaan kutistaa pisteeksi. Eräs todistus käyttää Seifertin – van Kampenin lausetta pallonpuolikkaisiin, jotka voidaan aidosti typistää pisteiksi.

Torus

Toruksen perusryhmä on isomorfinen kokonaislukuparien ryhmän suhteen, jonka laskutoimituksena on yhteenlasku. Yleisessä tapauksessa n-ulotteisen toruksen perusryhmä vastaa n-paikkaisten kokonaislukupisteiden ryhmää yhteenlaskulla.

Lähteet

• Huhtamäki, Hermanni: Perusryhmä ja topologisien avaruuksien luokittelu. (Kandidaatintyö) Aalto-yliopisto, 19.12.2023. URN:NBN:fi:aalto-202312277644+ Teoksen verkkoversio Aalto-yliopiston julkaisuarkistossa (pdf) Viitattu 16.5.2025.