Siirry sisältöön

Perusryhmä

Wikipediasta
Tämä artikkeli käsittelee matematiikan käsitettä. On myös artikkeli Perusryhmä (kreationismi).

Perusryhmä on algebrallisen topologian käsite, jonka avulla topologisia avaruuksia voidaan tutkia ryhmäteoreettisesti.

Kansantajuinen selitys

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Topologinen avaruus, jossa on reikiä.

Perusryhmän avulla voidaan vertailla topologisia avaruuksia. Tavallisista vektoriavaruuksista poiketen topologiset avaruudet voivat olla kaareutuneita, epäyhtenäisiä tai niissä voi olla reikiä.[1]

Käytännössä avaruudesta valitaan piste, jonka ympärille muodostetaan silmukoita. Silmukoita voi havainnollistaa venyvien köysien avulla. Jos kaksi silmukkaa voidaan venyttää toisikseen, niin niitä pidetään tässä tapauksessa samanlaisina. Perusryhmä on erilaisten silmukoiden ryhmä. Esimerkiksi silmukkaa, joka kulkee avaruudessa olevan reiän ympäri ei voida venyttää sellaiseksi silmukaksi, joka ei kulje reiän ympäri. Siksi reiättömän avaruuden perusryhmä on aina eri kuin reiällisen avaruuden perusryhmä.[1]

Määritelmä

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Perusryhmän tavallisin määritelmä pohjautuu vahvasti homotopian käsitteelle. Sen avulla voidaan täsmällisesti ilmaista, miten kaksi silmukkaa voidaan muuttaa toisikseen.[2]

Polkuhomotopia ja silmukkajoukko

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Kaksi vahvennettua polkua ovat keskenään homotooppiset. Kuva havainnollistaa, kuinka ne voidaan muuntaa jatkuvalla kuvauksella toisikseen.

Jatkossa tarkoittaa yksikköväliä.

Homotopian määritelmä:[2] Topologisien avaruuksien ja väliset jatkuvat kuvaukset ovat homotooppiset, jos on olemassa jatkuva kuvaus jolle ja . Homotopiaa merkitään .

Suhteellisen homotopian määritelmä:[2] Kuvaukset ovat homotooppiset joukon suhteen, jos on olemassa homotopia , jonka rajoittumalle on voimassa kaikilla . Tätä merkitään .

Polkuhomotopian määritelmä:[2] Polut ovat polkuhomotooppiset, jos on olemassa homotopia polkujen päätepisteiden ja suhteen eli . Tätä merkitään .

Silmukkajoukon määritelmä:[3] Polkua , jonka alku- ja loppupisteet ovat samat, eli jolle pätee , kutsutaan silmukaksi ja kantapisteavaruuden joukkoa kutsutaan silmukkajoukoksi.

Koska polkuhomotopia on ekvivalenssirelaatio, niin perusryhmä voidaan määritellä yksikäsitteisesti tekijäjoukon avulla.[3]

Perusryhmän määritelmä:[4] Olkoon silmukkajoukko. Siitä muodostettua tekijäjoukkoa jossa on polkuhomotopian määräämä ekvivalenssirelaatio, kutsutaan nimellä perusryhmä eli ensimmäinen homotopiaryhmä.

Eräiden avaruuksien perusryhmiä

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Ympyrän silmukoita, jotka kuuluvat eri ekvivalenssiluokkiin

Ympyrän perusryhmä koostuu silmukoiden luokista. Luokat määräytyvät kierrettyjen kierrosten lukumäärän ja suunnan perusteella.[4]

Voidaan osoittaa, että ympyrän perusryhmä on isomorfinen kokonaislukujen ryhmän kanssa, jonka laskutoimituksena on yhteenlasku. Tällöin vaikkapa kolmesti vastapäivään menevän silmukan ja viidesti myötäpäivään menevän silmukan yhdiste vastaa yhteenlaskua eli tulos on kaksi kierrosta myötäpäivään kulkeva silmukka.[5]

Pallon silmukat voidaan kutistaa pisteeksi.

Pallon pinnan perusryhmä on triviaali ryhmä, koska sen jokainen silmukka voidaan kutistaa pisteeksi. Eräs todistus käyttää Seifertin – van Kampenin lausetta pallonpuolikkaisiin, jotka voidaan aidosti typistää pisteiksi.[6]

Toruksen perusryhmä on isomorfinen kokonaislukuparien ryhmän suhteen, jonka laskutoimituksena on yhteenlasku. Yleisessä tapauksessa n-ulotteisen toruksen perusryhmä vastaa n-paikkaisten kokonaislukupisteiden ryhmää yhteenlaskulla.[7]

  1. a b Huhtamäki, s. 11
  2. a b c d Huhtamäki, s. 12–13
  3. a b Huhtamäki, s. 14–15
  4. a b Huhtamäki, s. 17
  5. Huhtamäki, s. 24
  6. Huhtamäki, s. 50
  7. Huhtamäki, s. 46