Nollalla jakaminen

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Nollalla jakaminen tarkoittaa jakolaskua, jossa jakaja on nolla. Muodollisesti tällaista jakolaskua merkitään . Tavallisessa aritmetiikassa ei ole määritelty.

Algebrallinen tulkinta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jakolasku määritellään kertolaskun avulla: osamäärä tarkoittaa sitä lukua , jolla pätee . Oletetaan nyt, että . Jakolaskun määritelmän mukaan on se luku , jolla . Kuitenkin riippumatta luvusta . Siis ei ole olemassa lukua , eli nollalla ei voi jakaa nollasta eroavaa lukua .

Myöskään nollaa ei voi jakaa nollalla: mikä tahansa luku toteuttaa yhtälön , joten voisi olla mikä reaaliluku hyvänsä.

Geometrisen summan avulla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yksi tapa lähestyä nollalla jakamisen ongelmaa on geometrisen summan avulla. Tiedetään että summan suppenemissäde on .

Kun sijoitetaan summaan arvo , saadaan . Koska summa kasvaa rajatta, suureella ei ole mielekästä arvoa.

Raja-arvot ja nollalla jakaminen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Nollalla jakamista voi tarkastella myös raja-arvojen avulla. Kun lähestyy nollaa oikealta puolelta, kasvaa osamäärä rajoittamattomasti. Kun lähestyy nollaa vasemmalta puolelta, osamäärä vähenee rajatta. Jos siis haluttaisiin määritellä nollalla jakaminen lausekkeen raja-arvona, tulisi osamäärän olla yhtä aikaa sekä äärettömän suuri että äärettömän pieni. Tämä on mahdotonta, joten nollalla jakamista ei voi määritellä tälläkään tavalla.

Nollalla jakamisen seuraukset[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos sallitaan nollalla jakaminen ja oletetaan, että , voidaan todistaa, että esimerkiksi 2 = 1.

Nollan ominaisuuksista johtuen tiedetään että ja . Näin siis on . Jakamalla yhtälö puolittain nollalla saadaan . Siispä .

Jakamalla nollalla on päädytty selvästi ristiriitaiseen johtopäätökseen. Siis nollalla ei voi jakaa.

Laajennettu reaaliakseli[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Reaaliakseli voidaan laajentaa sisältämään alkiot ja , jotka sopivasti tulkittuna antavat järkevän määritelmän nollalla jakamiselle. Joissain matematiikan aloissa, kuten mittateoriassa, tämä on luontevaa sillä usein eteen tulee funktioita, joille esimerkiksi ääretönarvoisuus olisi selkempää määritellä kuin jättää raja-arvojen varaan.

Määrittelemme, että laajennettu reaaliakseli on joukko , missä ja ovat alkioita, joille pätee seuraavat ominaisuudet:

  • kaikilla
  • ja
  • ja
  • kaikilla
  • kaikilla
  • kaikilla
  • kaikilla
  • kaikilla
  • kaikilla
  • kaikilla
  • kaikilla
  • kaikilla
  • kaikilla .

Tapauskohtaisesti myös määritellään

  • ja .

Merkinnät

  • ,
  • ,
  • ,
  • ja

eivät ole määritelty joukossa .

Nollalla jakaminen ohjelmoinnissa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tietokoneohjelmoinnissa kokonaislukujen jakolasku, jossa jakaja on nolla, aiheuttaa ohjelman keskeytymisen tai siirtymisen poikkeuskäsittelijään. Liukuluvuilla laskettaessa (hallitsevan IEEE 754 -standardin mukaan) nollia on kaksi: positiivinen nolla ja negatiivinen nolla; näiden voi ajatella kuvaavan esitystarkkuuden rajaa pienempiä lukuja, joista kuitenkin tiedetään etumerkki. Nollalla jakaminen antaa tulokseksi positiivisen äärettömän tai negatiivisen äärettömän riippuen jaettavan ja nollajakajan etumerkeistä. Jos myös jaettava on nolla eli jaetaan nollaa nollalla, tulos on määrittelemätön arvo, jota kutsutaan nimellä Not-a-Number tai lyhenteellä NaN (vakiintumaton suomennos 'epäluku').

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.