Newtonin–Pepysin ongelma

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Newtonin–Pepysin ongelma on todennäköisyysongelma, joka käsittelee todennäköisyyttä heittää kuutoset vaihtelevalla määrällä noppia.[1]

Vuonna 1693 Samuel Pepys ja Isaac Newton kiistelivät Pepysin esittämästä väitteestä, josta Pepys aikoi lyödä vetoa. Ongelma oli tämä:

Millä seuraavista kolmesta väitteestä on suurin mahdollisuus toteutua?
A. Kuusi painottamatonta noppaa heitetään toisistaan riippumattomasti ja saadaan ainakin yksi kuutonen.
B. Kaksitoista painottamatonta noppaa heitetään toisistaan riippumattomasti ja saadaan ainakin kaksi kuutosta.
C. Kahdeksantoista painottamatonta noppaa heitetään toisistaan riippumattomasti ja saadaan ainakin kolme kuutosta.[2]

Pepys ajatteli intuitiivisesti, että vaihtoehdolla C olisi suurin todennäköisyys, mutta Newton päätteli oikein, että itse asiassa vaihtoehdolla A on suurin todennäköisyys toteutua.

Ratkaisu[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Todennäköisyydet vaihtoehdoille A, B ja C ovat:[1]

P(A)=1-\left(\frac{5}{6}\right)^{6} = \frac{31031}{46656} \approx 0.6651\, ,
P(B)=1-\sum_{x=0}^1\binom{12}{x}\left(\frac{1}{6}\right)^x\left(\frac{5}{6}\right)^{12-x}
= \frac{1346704211}{2176782336} \approx 0.6187\, ,
P(C)=1-\sum_{x=0}^2\binom{18}{x}\left(\frac{1}{6}\right)^x\left(\frac{5}{6}\right)^{18-x}
= \frac{15166600495229}{25389989167104} \approx 0.5973\, .

Tulokset voidaan havaita soveltamalla binomijakaumaa. Yleisesti, jos P(N) on todennäköisyys heittää ainakin n kuutosta kuudella n nopalla, niin:

P(N)=1-\sum_{x=0}^{n-1}\binom{6n}{x}\left(\frac{1}{6}\right)^x\left(\frac{5}{6}\right)^{6n-x}\, .

Kun n kasvaa, P(N) vähenee monotonisesti kohti asymptoottista rajaa 1/2.

Newtonin selitys[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Vaikka Newton laski oikein heittojen todennäköisyydet, hän tarjosi Pepysille erillisen, intuitiivisemman selityksen. Hän kuvitteli, että B ja C vaihtoehdoissa heitetään noppia kuutosten ryhmissä, ja sanoi että A oli kaikkein todennäköisin vaihtoehdoista, koska se vaati kuutosen saamisen vain yhdellä heitolla, kun taas B ja C vaativat kuutosen saamista jokaisella heitolla. Tämä selitys olettaa, että ryhmä ei tuota enempää kuin yhden kuutosen, joten se ei itseasiassa vastaa alkuperäiseen ongelmaan.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b Newton-Pepys Problem MathWorld . Viitattu 30.8.2013. (englanniksi)
  2. Stigler, Stephen: Isaac Newton as a Probabilist. Chicagon yliopisto. (englanniksi)
Käännös suomeksi
Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja vieraskielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli: en:Newton-Pepys problem