Napoleonin lause

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Napoleonin lause sen alkuperäisessä muodossa.

Napoleonin lause on geometriaan liittyvä tulos, joka todistaa erään kolmioon liittyvän konstruktion synnyttävän sisäänsä aina tasasivuisen kolmion. Konstruktio muodostetaan satunnaiseen kolmioon siten, että jokaiselle kolmion sivulle piirretään tasasivuinen kolmio, jonka sivu yhtyy kolmion sivun kanssa ja jonka kolmas kärki osoittaa ulospäin kolmiosta. Näin kolmio on ympäröity kolmella tasasivuisella kolmiolla. Jokaiselle tasasivuiselle kolmiolle merkitään keskustaan, eli painopisteeseen, piste, jotka yhdistetään janoilla kolmioksi. Tämä kolmio on lauseen väitteen mukaan tasasivuinen kolmio.[1]

Napoleonin lauseen variaatioita[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Napoleonin lauseen alkuperäinen muoto synnyttää aina tasasivuisen kolmion (engl. outer Napoleon's triangle [2]). Napoleonin lause pätee myös sellaiselle konstruktiolle, jossa tasasivuiset kolmiot yhtyvät kolmion sivuihin, mutta kolmioiden kolmas kärki osoittaa sisäänpäin kolmiosta. Tämä Napoleonin kolmio on joskus edellistä pienempi (engl. inner Napoleon triangle [3]).

Jos yhden tasasivuisista kolmioista sisäänpäin ja kaksi muuta ulospäin kolmiosta, saadaan keskipisteistä kolmio, jonka kulmat ovat 30°, 30 ja 120°.[4]

Kolmiota ympröivien kolmioiden ei tarvitse olla tasasivuisia kolmioita: kolme yhdenmuotoistakin kolmiota riittää. Piirretään ensin alkuperäinen satunnainen kolmio. Valitaan toinen kolmio, sekin satunnainen muodoltaan, ja numeroidaan sen sivut 1, 2 ja 3. Siirretään toisen kolmion sivu 1 alkuperäisen kolmion kylkeen suurentaen kolmiota niin, että sivt yhtyvät samanpituisiksi. Kopioidaan toinen kolmio uudeksi kolmioksi ja siirretään se lähes samassa asennossa ja suurennetaan sitä niin, että sivu 2 yhtyy kolmion toisen sivun kanssa. Sama toisteaan toisen kopion kanssa niin, että lähes samassa asennossa sen kolmas sivu yhtyy jäljellä olevaan vapaaseen sivuun. Nyt alkuperäinen kolmio on ympäröity yhdenmuooisilla kolmioilla. Valitaan näiden sisältä piste, joka sijaitsee kaikissa kolmessa kolmioissa samassa suhteellisessa kohdassa. Yhdistetään nämä pisteet janoilla, ja nyt on syntynyt kolmio, joka on yhdenmuotoinen ympäröivien kolmioiden kanssa.[4]

Merkillisiä pisteitä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Konstruktioon liittyy myös eräitä kolmion merkillisiä pisteitä. Merkilliset pisteet syntyvät kolmen janan tai suoran leikkauspistenä, joiden olemassaolo on riippumaton kolmion sivujen pituuksista. Molempiin edellä esitelyihin konstruktioihin liittyvät Napoleonin pisteet, jotka liittyvät kolmen janan yhteisiin leikkauspisteisiin. Kolmion kärjet yhdistetään vastaisen sivun tasasivuisen kolmion keskipisteisiin. Kun tasasivuisten kolmioiden kärjet osittavat kolmiosta ulospäin, syntyy ensimmäinen Napoleonin piste [5], kun kärjet osoittavat sisäänpäin, syntyy toinen Napoleonin piste [6]. [7]

Samassa kontruktioissa voidaan yhdistää kolmion kärkjet tasasivuisten kolmioiden uloimpiin kärkiin. Nämä janat leikkaavat Fermat'n pisteissä. Kun tasasivuiset kolmioiden kärjet osoittavat ulospäin kolmiosta, sadaan ensimmäinen Fermat'n piste [8], ja kun kärjet osoittavat kolmiosta sisäänpäin, saadaan toinen Fermat'n piste [9]. [10]

Todistus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Oheisessa todistuksessa tarvittava apupiirros.

Napoleonin lauseen väite, jossa tasasivuisten ulkokolmioiden keskipisteet yhdistävät janat muodostavat myös tasasivuisen kolmion, voidaan todistaa alla esitetyllä tavalla. Meritään ensin pisteet L, M ja N tasasivuisten kolmioiden keskipisteisiin. Tasasivuisen kolmion keskipiste sijaitsee kolmion kulmien kulmanpuolittajien leikkauspisteessä.

Aluksi voidaan tehdä kaksi yleistä huomiota. Kolmion sivun ja kulmanpuolittajan väliin jää 30° kulmat:

\measuredangle MCA = \measuredangle CAM = \measuredangle NAB = \measuredangle ABN = \measuredangle LBC = \measuredangle BCL = 30^\circ.

Tasasivuisten kolmioiden yhdenmuotoisuudesta seuraa myös

\frac{|AM|}{|AC|} = \frac{|AN|}{|AB|} = \frac{|CL|}{|BC|}.

Nyt kolmiossa \scriptstyle \triangle AMC, jakamalla jana AC ensin puoliksi pisteellä C', syntyy kohtaan C' suora kulma janojen AC' ja C'M välille. Sivujen kosini antaa

\cos 30^\circ = \frac{|AC \ '|}{|AM|} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}= \frac{\tfrac{1}{2}|AC|}{|AM|} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{1}= \frac{|AC|}{|AM|} \Leftrightarrow \frac{3}{\sqrt{3}}= \frac{|AC|}{|AM|},

joten

|AM|=\tfrac{\sqrt{3}}{3}|AC|.

Vastaavasti kolmiossa \scriptstyle \triangle ANB on

|AN|=\tfrac{\sqrt{3}}{3}|AB|.

Kärjen A ympäristössä myös kulmat

\measuredangle  ZAN = \measuredangle MAY = 30^\circ

ja, kuten kuviosta voidaan päätellä, myös

\measuredangle  NAM = \measuredangle  ZAC.

Nyt kolmiot ovat yhdenmuotoiset eli \scriptstyle \triangle AMC \sim \triangle ACZ (mittakaavalla \scriptstyle \sqrt{3} \, : \, 3) , koska

  • kulma  \measuredangle  NAM = \measuredangle  ZAC,
  • pituus |AM|=\tfrac{\sqrt{3}}{3}|AC|
  • ja pituus |AN|=\tfrac{\sqrt{3}}{3}|AB|=\tfrac{\sqrt{3}}{3}|AZ|.

Tällöin Napoleonin kolmion sivulle NM saadaan

|NM|=\tfrac{\sqrt{3}}{3}|ZC|.

Vastaavasti voidaan päätellä kärjen B ympäristössä sivulle LN (valitsemalla janat peilikuvamaisesti), että

|NL|=\tfrac{\sqrt{3}}{3}|ZC|,

joten sivut NM ja LN ovat yhtä pitkät

|NM|=|LN|.

Siirtämällä vastaava tarkastelu kärkien B ja C ympäristöihin, saadaan vuorostaan

|LN|=\tfrac{\sqrt{3}}{3}|AX| ja
|LM|=\tfrac{\sqrt{3}}{3}|AX|, joten
|LM|=|LN| ja vielä =|MN|. Kolmion kaikki sivut ovat samanmittaisia.

Historia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lause on legendaarisesti liitetty Napoléon Bonaparteen (1769-1821), mutta nykyään sen todellisesta keksijästä on monia mielipiteitä. Sen vaiheita on pystytty seuraamaan taaksepäin vuoteen 1825, kun William Rutherford sisällytti sen kirjaansa "The Ladies Diary". Lause on todennäköisesti tätä vanhempi.[1]

Napoleon oli kuitenkin matematiikassa huomattavan lahjakas. Häntä aiottiin tämän vuoksi siirtää laivaston palvelukseen, mutta sitten hänen taitojaan katsottiin tarvittavan tykistössä, joka tuohon aikaan kehittyi voimakkaasti. Hän oli myös Institue de France'n jäsen, mistä hän oli ylpeä ja tunsi useita sen ajan tunnettuja matemaatikoita. Hän kävi heidän kanssaan lukuisia geometriaan liittyviä keskusteluita ja ratkoi heidän kanssaan geometrisia probleemoja.[11]

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Wells, David: The Penquin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. Englanti: Penguin Group, 1991. ISBN 0-14-011813-6. (englanniksi)

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b Weisstein, Eric W.: Napoleon's Theorem (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  2. Weisstein, Eric W.: Outer Napoleon Triangle (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  3. Weisstein, Eric W.: Inner Napoleon Triangle (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  4. a b Wells, David: The Penquin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, 1991, s.156
  5. Weisstein, Eric W.: First Napoleon Point (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  6. Weisstein, Eric W.: Second Napoleon Point (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  7. Weisstein, Eric W.: Napoleon Points (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  8. Weisstein, Eric W.: First Fermat Point (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  9. Weisstein, Eric W.: Second Fermat Point (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  10. Weisstein, Eric W.: Fermat Points (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  11. Brown, Kevin: MathPages: Napoleon's Theorem

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]