Millsin vakio

Millsin vakio on matematiikassa pienin sellainen positiivinen reaaliluku A, jolle kaksoiseksponenttifunktion $A^{3^{n}}$ lattiafunktion

$\lfloor A^{3^{n}}\;\rfloor$

arvo on alkuluku kaikilla $n\in \mathbb {N} .$

Vakio on nimetty William H. Millsin mukaan, joka todisti sen olemassaolon vuonna 1947 tietämättä kuitenkaan mitään sen arvosta. Todistus perustui seuraavaan Guido Hoheiselin ja Albert Inghamin tulokseen alkulukujen väleistä:

Olkoon p_n n:s alkuluku. On olemassa vakio K siten, että $p_{n+1}-p_{n}<Kp_{n}^{\frac {5}{8}}$

Mikäli Riemannin hypoteesi on tosi, Millsin vakio on

$A\approx 1{,}30637788386308069046861449260260571291678458515671364436805375996643405376682659882...$

Millsin alkuluvut

Alkulukuja, jotka Millsin vakio tuottaa kutsutaan Millsin alkuluvuiksi. Ensimmäiset Millsin alkuluvut ovat 2, 11, 1361 ja 2 521 008 887 A051254 OEIS-tietokannassa.

Olkoon M(n) n:s Millsin alkuluku. Jos Riemannin hypoteesi on tosi, niin M(n) on suurin alkuluku luvun $M(n-1)^{3}\!\$ jälkeen. Tätä voidaan käyttää hyväksi Millsin alkulukujen laskemisessa, ensimmäinen Millsin alkuluku on 2; $2^{3}$ on 8, jota seuraava alkuluku on 11. $11^{3}$ on 1331 jota seuraava alkuluku on 1361 ja niin edelleen. Näin saamme Millsin alkuluvut, edelleen olettaen että Riemannin hypoteesi on tosi. Suurin tunnettu Millsin alkuluku (olettaen että Riemannin hypoteesi on tosi) on

$\displaystyle (((((((((2^{3}+3)^{3}+30)^{3}+6)^{3}+80)^{3}+12)^{3}+450)^{3}+894)^{3}+3636)^{3}+70756)^{3}+97220,$

jossa on 20562 numeroa.

Millsin vakion määrittäminen

Millsin vakion laskeminen on vaikeaa, sillä ei tiedetä muuta menetelmää kuin määrittää ensin alkuluvut, jotka se tuottaa. Etsimällä Millsin alkulukuja, Millsin vakiota voidaan arvioida seuraavasti:

$A\approx M(n)^{1/3^{n}}.$

Caldwell ja Cheng laskivat tällä tavoin Millsin vakion 6850 desimaalin tarkkuudella, olettaen että Riemannin hypoteesi on tosi. Millsin vakiolle ei tunneta esityssä suljetussa muodossa, eikä edes tiedetä onko se irrationaalinen.

Aiheesta muualla

• MathWorld: Mill's constant (englanniksi)
• Caldwellin ja Chengin artikkeli (englanniksi)