Mandelstamin muuttujat

Mandelstamin muuttujat kuvaavat kahden elastisesti törmäävien hiukkasten liikemäärää ja energiaa.

Mandelstamin muuttujat ovat kinemaattisia muuttujia, jotka ovat Lorentz-invariantteja (inertiaalikoordinaatistosta riippumattomia). Ne kuvaavat kahden elastisesti törmäävän hiukkasen energioita ja liikemääriä. Elastisuus tarkoittaa sitä, että kokonaisenergia ja -liikemäärä pysyvät samoina ennen ja jälkeen törmäyksen.

Matemaattinen muotoilu

Mandelstamin muuttujia kuvataan kirjaimilla s, t ja u:

$s=(p_{1}+p_{2})^{2}=(p_{3}+p_{4})^{2}\,\!$

$t=(p_{1}-p_{3})^{2}=(p_{2}-p_{4})^{2}\,\!$

$u=(p_{1}-p_{4})^{2}=(p_{2}-p_{3})^{2}\,\!$,

missä $p_{1}$ ja $p_{2}$ ovat törmäävien hiukkasten neliliikemäärät ja $p_{3}$ ja $p_{4}$ ovat hiukkasten neliliikemäärät törmäysten jälkeen. Mandelstamin muuttujien summa on sama kuin törmäävien ja sironneiden hiukkasten massojen neliöiden summa

$s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}$.

Kun törmäystä tarkastellaan massakeskipistekoordinaatistosta, niin s:n neliöjuuri tulkitaan hiukkasten kokonaisenergiaksi

${\sqrt {s}}=E_{1}^{*}+E_{2}^{*}=E_{\text{tot}}^{*}$,

missä $E_{1}^{*}$ ja $E_{2}^{*}$ ovat törmäävien hiukkasten energiat ja yläindeksissä oleva *-merkki tarkoittaa sitä, että energia on massakeskipiste-energia. Vaihtoehtoinen tapa tarkastella tilannetta on käyttää laboratoriokoordinaatistoa, jossa siis toinen hiukkanen on koordinaatiston origossa ja sen tulkitaan olevan paikallaan.