Möbiuskuvaus

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Möbius-kuvaukset ovat muotoa

f(z) = \frac{a z + b}{c z + d}


olevia kuvauksia, missä a, b, c ja d ovat mielivaltaisia kompleksilukuja. Möbius-kuvaukset on määritelty laajennetulta kompleksitasolta itselleen. Bilineaarinen kuvaus on erikoistapaus Möbius-kuvauksesta. Möbius-kuvaukset ovat saaneet nimensä saksalaisen matemaatikon ja astronomin August Ferdinand Möbiuksen mukaan.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Möbius-kuvaukset ovat muotoa

f(z) = \frac{a z + b}{c z + d}

olevia kuvauksia, missä a, b, c ja d ovat kompleksilukuja, jotka toteuttavat ehdon adbc ≠ 0. Möbius-kuvaukset on määritelty kaikkialla paitsi kun
z = d/c. Ne ovat konformisia bijektioita \overline{\C}\overline{\C}, missä \overline{\C} tarkoittaa laajennettua kompleksitasoa \mathbb{C}\cup\{\infty\} eli kompleksitasoa, johon on lisätty äärettömyyspiste. Laajennettua kompleksitasoa kutsutaan myös Riemannin palloksi.

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Möbius-kuvaukset voidaan esittää yhdistettynä kuvauksena siirrosta, venytyksestä ja kierrosta sekä inversiosta, missä operaatio "siirto" on muotoa
w=z+a, operaatio "venytys ja kierto" on muotoa w=az ja operaatio "inversio" on muotoa w=1/z. Möbius-kuvaukset kuvaavat suorat ja ympyrät joko suoriksi tai ympyröiksi siten, että operaatio "inversio" saattaa muuttaa suoran ympyräksi tai päinvastoin. Konformikuvauksina Möbius-kuvaukset säilyttävät kulmat.

Kaksoissuhde[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Möbius-kuvaukset säilyttävät pisteiden välisen kaksoissuhteen:
Olkoot a1, a2, a3 ja a4 kompleksilukuja, joille ajak kun jk. Tällöin näiden kaksoissuhde on luku

[a_1, a_2, a_3, a_4] = \frac{(a_1-a_2)(a_3-a_4)}{(a_1-a_3)(a_2-a_4)}.

Jos jokin ai = ∞ on kaksoissuhde määriteltäva raja-arvona, kun ai → ∞.
Möbius-kuvaukset säilyttävät kaksoissuhteen, eli siis Möbius-kuvauksessa w = f(z)
[w, w1, w2, w3] = [z, z1, z2, z3].

Möbiuskuvaukset muodostavat ryhmän, niin sanotun Möbius-ryhmän, kuvausten yhdistämisen suhteen.

Esimerkki[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Seuraavassa esimerkissä käytetään hyväksi Möbius-kuvausten ominaisuutta säilyttää pisteiden välinen kaksoissuhde:
Etsitään Möbius-kuvaus, joka vie origokeskisen yksikkökiekon D(0, 1) ylemmälle puolitasolle. Käytetään kaksoissuhdetta. Kiinnitetään yksikkökiekon reunapisteet z1 = 1, z2 = i, z3 = -1 ja ylemmän puolitason reunapisteet w1 = -1, w2 = 0, w3 = 1. Pisteiden kiinnityksessä on huomioitu niiden järjestys alueisiin nähden, eli kuljettaessa pisteestä z1 pisteen z2 kautta pisteeseen z3 jää yksikkökiekko vasemmalle puolelle ja kuljettaessa pisteestä w1 pisteen w2 kautta pisteeseen w3 jää ylempi puolitaso vasemmalle puolelle. Sopiva kuvaus saadaan ratkaisemalla w yhtälöstä

\frac{(w-w_1)(w_2-w_3)}{(w-w_2)(w_1-w_3)} = \frac{(z-z_1)(z_2-z_3)}{(z-z_2)(z_1-z_3)}

missä w1, w2, w3, z1, z2 ja z3 ovat edellä kiinnitetyt pisteet. Saamme

\frac{(w+1)(0-1)}{(w-0)(-1-1)} = \frac{(z-1)(i+1)}{(z-i)(1+1)}w(zi-i) = z-2w = \frac{z-2}{i(z-1)}.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]