Matematiikassa lohkomatriisilla tarkoitetaan matriisin ositusta pienemmiksi matriiseiksi, lohkoiksi, jolloin alkuperäinen matriisi voidaan kirjoittaa näiden pienempien matriisien yhdistelmänä. Osituksen täytyy olla johdonmukainen siten, että se voidaan visualisoida jakamalla alkuperäinen matriisi lohkoihin koko matriisin läpi kulkevilla pysty- ja vaakasuorilla viivoilla. Jokainen matriisi voidaan kuvata lohkomatriisina yhdellä tai useammalla tavalla.
4
×
4
{\displaystyle 4\times 4}
P
=
[
1
1
2
2
1
1
2
2
3
3
4
4
3
3
4
4
]
{\displaystyle \mathbf {P} ={\begin{bmatrix}1&1&2&2\\1&1&2&2\\3&3&4&4\\3&3&4&4\end{bmatrix}}}
voidaan jakaa neljäksi
2
×
2
{\displaystyle 2\times 2}
P
11
=
[
1
1
1
1
]
,
P
12
=
[
2
2
2
2
]
,
P
21
=
[
3
3
3
3
]
,
P
22
=
[
4
4
4
4
]
.
{\displaystyle \mathbf {P} _{11}={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}},\mathbf {P} _{12}={\begin{bmatrix}2&2\\2&2\end{bmatrix}},\mathbf {P} _{21}={\begin{bmatrix}3&3\\3&3\end{bmatrix}},\mathbf {P} _{22}={\begin{bmatrix}4&4\\4&4\end{bmatrix}}.}
Nyt ositettu matriisi voidaan kirjoittaa muodossa
P
=
[
P
11
P
12
P
21
P
22
]
.
{\displaystyle \mathbf {P} ={\begin{bmatrix}\mathbf {P} _{11}&\mathbf {P} _{12}\\\mathbf {P} _{21}&\mathbf {P} _{22}\end{bmatrix}}.}
Lohkojen ei ole pakko olla keskenään samankokoisia matriiseja. Yhtä hyvin voisimme valita vaikka
P
11
=
[
1
1
1
1
3
3
]
,
P
12
=
[
2
2
2
2
4
4
]
,
P
21
=
[
3
3
]
,
P
22
=
[
4
4
]
.
{\displaystyle \mathbf {P} _{11}={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\\3&3\end{bmatrix}},\mathbf {P} _{12}={\begin{bmatrix}2&2\\2&2\\4&4\end{bmatrix}},\mathbf {P} _{21}={\begin{bmatrix}3&3\end{bmatrix}},\mathbf {P} _{22}={\begin{bmatrix}4&4\end{bmatrix}}.}
Lohkodiagonaalinen matriisi on lohkomatriisin erikoistapaus, jossa matriisin diagonaali koostuu neliömatriiseista ja sen kaikki muut alkiot ovat nollia. Lohkodiagonaalinen matriisi on aina neliömatriisi. Siis, jos
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
A
=
[
A
1
0
⋯
0
0
A
2
⋯
0
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
0
A
n
]
,
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{1}&0&\cdots &0\\0&\mathbf {A} _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\mathbf {A} _{n}\end{bmatrix}},}
missä
A
k
{\displaystyle \mathbf {A} _{k}}
1
≤
k
{\displaystyle 1\leq k}
≤
n
.
{\displaystyle \leq n.}
Tämä voidaan esittää myös matriisien suorana summana :
A
=
A
1
⊕
A
2
⊕
.
.
.
⊕
A
n
{\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {A} _{1}\oplus \mathbf {A} _{2}\oplus ...\oplus \mathbf {A} _{n}}
Lohkodiagonaalisen matriisin determinantille ja jäljelle pätee:
det
A
=
det
A
1
×
…
×
det
A
n
,
{\displaystyle \operatorname {det} \mathbf {A} =\operatorname {det} \mathbf {A} _{1}\times \ldots \times \operatorname {det} \mathbf {A} _{n},}
tr
A
=
tr
A
1
+
⋯
+
tr
A
n
.
{\displaystyle \operatorname {tr} \mathbf {A} =\operatorname {tr} \mathbf {A} _{1}+\cdots +\operatorname {tr} \mathbf {A} _{n}.}
Olkoon lohkomatriisit
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
m
×
p
{\displaystyle m\times p}
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
p
×
n
{\displaystyle p\times n}
A
=
[
A
11
A
12
⋯
A
1
s
A
21
A
22
⋯
A
2
s
⋮
⋮
⋱
⋮
A
q
1
A
q
2
⋯
A
q
s
]
,
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}&\cdots &\mathbf {A} _{1s}\\\mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}&\cdots &\mathbf {A} _{2s}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {A} _{q1}&\mathbf {A} _{q2}&\cdots &\mathbf {A} _{qs}\end{bmatrix}},}
ja
B
=
[
B
11
B
12
⋯
B
1
r
B
21
B
22
⋯
B
2
r
⋮
⋮
⋱
⋮
B
s
1
B
s
2
⋯
B
s
r
]
.
{\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}&\cdots &\mathbf {B} _{1r}\\\mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}&\cdots &\mathbf {B} _{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {B} _{s1}&\mathbf {B} _{s2}&\cdots &\mathbf {B} _{sr}\end{bmatrix}}.}
Toisin sanoen, matriisin
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
q
{\displaystyle q}
s
{\displaystyle s}
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
s
{\displaystyle s}
r
{\displaystyle r}
Nyt voidaan laskea matriisitulo
C
=
A
B
{\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {A} \mathbf {B} }
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
q
{\displaystyle q}
r
{\displaystyle r}
C
{\displaystyle \mathbf {C} }
C
x
y
=
∑
k
=
1
s
A
x
k
B
k
y
,
{\displaystyle \mathbf {C} _{xy}=\sum _{k=1}^{s}\mathbf {A} _{xk}\mathbf {B} _{ky},}
jolloin
C
=
[
C
11
C
12
⋯
C
1
r
C
21
C
22
⋯
C
2
r
⋮
⋮
⋱
⋮
C
q
1
C
q
2
⋯
C
q
r
]
.
{\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{bmatrix}\mathbf {C} _{11}&\mathbf {C} _{12}&\cdots &\mathbf {C} _{1r}\\\mathbf {C} _{21}&\mathbf {C} _{22}&\cdots &\mathbf {C} _{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {C} _{q1}&\mathbf {C} _{q2}&\cdots &\mathbf {C} _{qr}\end{bmatrix}}.}
