Linnikin lause

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Linnikin lause vastaa analyyttisen lukuteorian alalla Dirichlet'n aritmeettisia lukujonoja koskevan lauseen pohjalta nousevaan luonnolliseen kysymykseen.

Olkoot a ja d sellaisia keskenään jaottomia positiivisia kokonaislukuja, että 1 ≤ ad. Tällöin aritmeettinen lukujono

a + nd,

missä n käy läpi kaikki positiiviset kokonaisluvut, sisältää Dirichlet'n lauseen mukaan äärettömän määrän alkulukuja.

Olkoon p(a,d) näistä pienin kullakin a ja d.

Linnikin lauseen mukaan on tällöin olemassa sellaiset positiiviset reaaliluvut c ja L, että:

Lause on nimetty Yuri Vladimirovich Linnikin mukaan. Hän todisti sen vuonna 1944. [1][2] Vaikka Linnikin todistuksen mukaan c ja L ovat efektiivisesti laskettavissa, hän ei esittänyt niille numeerisia arvoja.

Vakiota L kutsutaan Linnikin vakioksi. Seuraava taulukko kuvaa edistysaskeleita sen arvon laskemisessa.

L ≤ Julkaisuvuosi Tekijä
10000 1957 Pan[3]
5448 1958 Pan
777 1965 Chen[4]
630 1971 Jutila
550 1970 Jutila[5]
168 1977 Chen[6]
80 1977 Jutila[7]
36 1977 Graham[8]
20 1981 Graham[9] (tehty ennen Chenin 1979 artikkelin ilmestymistä)
17 1979 Chen[10]
16 1986 Wang
13.5 1989 Chen and Liu[11][12]
5.5 1992 Heath-Brown[13]

Lisäksi Heath-Brownin tuloksessa vakio c on efektiivisesti laskettavissa.

Tiedetään, että L ≤ 2 lähes kaikilla kokonaisluvuilla d.[14]

Yleistetyn Riemannin hypoteesin avulla voidaan osoittaa, että

missä on Eulerin funktio. [13]

On myös esitetty olettamus, että:

[13]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Linnik, Yu. V. On the least prime in an arithmetic progression I. The basic theorem Rec. Math. (Mat. Sbornik) N.S. 15 (57) (1944), pages 139–178
  2. Linnik, Yu. V. On the least prime in an arithmetic progression II. The Deuring-Heilbronn phenomenon Rec. Math. (Mat. Sbornik) N.S. 15 (57) (1944), pages 347–368
  3. Pan Cheng Dong On the least prime in an arithmetical progression. Sci. Record (N.S.) 1 (1957) pp. 311–313
  4. Chen Jingrun On the least prime in an arithmetical progression. Sci. Sinica 14 (1965) pp. 1868–1871
  5. Jutila, M. A new estimate for Linnik's constant. Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I No. 471 (1970) 8 pp.
  6. Chen Jingrun On the least prime in an arithmetical progression and two theorems concerning the zeros of Dirichlet's $L$-functions. Sci. Sinica 20 (1977), no. 5, pp. 529–562
  7. Jutila, M. On Linnik's constant. Math. Scand. 41 (1977), no. 1, pp. 45–62
  8. Applications of sieve methods Ph.D. Thesis, Univ. Michigan, Ann Arbor, Mich., 1977
  9. Graham, S. W. On Linnik's constant. Acta Arith. 39 (1981), no. 2, pp. 163–179
  10. Chen Jingrun On the least prime in an arithmetical progression and theorems concerning the zeros of Dirichlet's $L$-functions. II. Sci. Sinica 22 (1979), no. 8, pp. 859–889
  11. Chen Jingrun and Liu Jian Min On the least prime in an arithmetical progression. III. Sci. China Ser. A 32 (1989), no. 6, pp. 654–673
  12. Chen Jingrun and Liu Jian Min On the least prime in an arithmetical progression. IV. Sci. China Ser. A 32 (1989), no. 7, pp. 792–807
  13. a b c Heath-Brown, D. R. Zero-free regions for Dirichlet L-functions, and the least prime in an arithmetic progression, Proc. London Math. Soc. 64(3) (1992), pp. 265–338
  14. E. Bombieri, J. B. Friedlander, H. Iwaniec. "Primes in Arithmetic Progressions to Large Moduli. III", Journal of the American Mathematical Society 2(2) (1989), pp. 215–224.