Leibnizin kolmio

Wikipediasta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun

Leibnizin kolmio eli Leibnizin harmoninen kolmio on lukukolmio, jossa on rationaalilukuja. Siinä ylimpänä on luku 1, ja jokainen ylemmällä rivillä oleva luku on kahden alemmalla rivillä olevan peräkkäisen luvun summa. Esimerkiksi lukujen 1/30 ja 1/60 yläpuolella on luku 1/20, koska 1/30 + 1/60 = 2/60 + 1/60 = 3/60 = 1/20.

Kolmion alkupään luvut[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kolmion kahdeksan ensimmäistä riviä ovat:

Lukujen laskusääntö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kolmion n:nnen rivin kummassakin päässä on luku

,

ja n:nnen rivin k:s luku on

eli

.

missä luvut ovat binomikertoimia[1]:

.

Leibnizin kolmion n:nnen rivin c:nnelle luvulle käytetään merkintää , missä . Näin ollen on siis ja .

Yhteys Pascalin kolmioon[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Leibnizin harmonisella kolmiolla on selvä yhteys Pascalin kolmioon. Pascalin kolmion jokainen luku, rivien päässä olevia ykkösiä lukuun ottamatta, on kahden edellisellä rivillä olevan peräkkäisen luvun summa, kun taas Leibnizin kolmiossa jokainen luku on kahden seuraavalla rivillä olevan luvun summa. Esimerkiksi viidennellä rivillä olevan luvun 1/30 alla seuraavalla rivillä ovat luvut 1/60 ja 1/60, joiden summa on 1/30.

Leibnizin kolmion luvut voidaan myös laskea Pascalin kolmion lukujen avulla. Kunkin rivin k:s luku saadaan sen ensimmäisestä luvusta jakamalla se vastaavassa kohdassa Pascalin kolmiossa olevalla luvulla.[2] Esimerkiksi Pascalin kolmion viidennellä rivillä ovat luvut 1, 4, 6, 4 ja 1. Leibnizin kolmion viidennen rivin alussa on luku 1/5, ja kun se jaetaan luvuilla 4, 6, 4 ja 1, saadaan rivin muut luvut 1/20, 1/30, 1/20 ja 1/5.

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos lasketaan yhteen Leibnizin kolmion n:nnellä rivillä olevien murtolukujen nimittäjät, summaksi saadaan math>n 2^{n - 1}</math>. Esimerkiksi kolmannella rivillä ovat nimittäjät 3, 6 ja 3, joiden summa on 12 = 3 · 22. If one takes the denominators of the nth row and adds them, then the result will equal . For example, for the 3rd row, we have 3 + 6 + 3 = 12 = 3 × 22.

Kolmion jokainen luku voidaan laskea myös integraalilla

Leibnizin kolmion rivi voidaan laske niin että kerrotaan rivin ensimmäisen luvun nimittäjällä vähennettynä yhdellä ja tämän jälkeen kertoja pienenee aina yhdellä ja jakaja kasvaa yhdellä. Esimerkiksi rivillä 5 kertoja on ensin 4 jolloin tulee 1/20 sen jälkeen kertoja on kolme ja jakaja kaksi jolloin tulee 1/30.

Käännös suomeksi
Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli: en:Leibniz harmonic triangle

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

= Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Leibniz Harmonic Triangle Wolfram MathWorld. Viitattu 27.3.2020.
  2. David Wells: The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, s. 98. {{{Julkaisija}}}, 1986. ISBN 978-0-14-026149-3.