Jälki

Lineaarialgebrassa n×n-neliömatriisin A jälki on määritelmän mukaan A:n päälävistäjän alkioiden summa, eli

$\mathrm {tr} (A)=a_{11}+a_{22}+...+a_{nn}\,=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}$,

missä a_ii tarkoittaa A:n alkiota rivillä i ja sarakkeessa i. Jälki on siis kuvaus neliömatriisien joukosta ${\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {C} )\to \mathbb {C}$.

Ominaisuuksia

Matriisin jälki on lineaarikuvaus, eli

$\mathrm {tr} (A+B)=\mathrm {tr} (A)+\mathrm {tr} (B)\,$

$\mathrm {tr} (rA)=r\;\mathrm {tr} (A)\,$

kaikille neliömatriiseille A ja B, sekä kaikille skalaareille $r\in \mathbb {C}$.

Koska päädiagonaali pysyy muuttumattomana transpoosissa, on neliömatriisilla ja sen transpoosilla sama jälki:

$\mathrm {tr} (A)=\mathrm {tr} (A^{T})\,$.

Jos A on n×m-matriisi ja B on m×n-matriisi, on

$\mathrm {tr} (AB)=\mathrm {tr} (BA)\,$,

vaikka matriisitulo ei olekaan kommutatiivinen. Edellisen nojalla jäljen sisällä olevien matriisien järjestystä voi kierrättää syklisesti

$\mathrm {tr} (ABC)=\mathrm {tr} (CAB)=\mathrm {tr} (BCA)\,$.

Huomaa kuitenkin, ettei useamman matriisin järjestystä voi vaihtaa mielivaltaisesti. Tärkeä relaatio vallitsee myös matriisin ominaisarvojen ja jäljen välillä. Jos $\lambda _{i}$ ovat matriisin ominaisarvot, niin

$\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\mathrm {tr} (A)$,

kun A on n×n-matriisi.

Kirjallisuutta

• Kivelä, Simo K.: Matriisilasku ja lineaarialgebra. Helsinki: Otatieto, 1984. ISBN 951-671-368-8.