De Brangesin lause

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Funktioteoriassa de Brangesin lause kertoo välttämättömän ehdon sille, että analyyttinen funktio kuvaa yksikkökiekon injektiivisesti kompeksitasoon Lause on nimetty ranskalais-amerikkalaisen Louis de Brangesin mukaan, mutta se tunnettiin aikaisemmin Bieberbachin otaksumana, saksalaisen Ludwig Bieberbachin mukaan. Otaksuman esitti Bieberbach jo vuonna 1916, mutta sen todisti de Branges vuonna 1984. Myöhemmin de Brangesin alkuperäistä todistusta on pystytty lyhentämään.

De Brangesin lause koskee yksikkökiekossa sileän eli injektiivisen analyyttisen funktion Taylorin sarjan kertoimia. Kun normitetaan niin, että ja , niin :llä on yksikkökiekossa potenssisarjaesitys, joka on muotoa

De Brangesin lauseen mukaan kaikilla on

Lisäksi kertoimien maksimit saavutetaan. On nimittäin silloin ja vain siloin, kun

missä .


Väitteen todisti oikeaksi tapauksessa Ludwig Bieberbach vuonna 1916. Vuoteen 1973 mennessä väite oli onnistuttu todistamaan oikeaksi, kun .