Clausius–Clapeyronin yhtälö

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Veden höyrynpaine lämpötilan funktiona. Clausius-Clapeyronin yhtälöllä voi ennustaa tämän käyrän muodon.

Clausius–Clapeyronin yhtälö on meteorologiassa differentiaaliyhtälö, jonka avulla voidaan tehdä ennustuksia kyllästyneen vesihöyryn höyrynpaineen eli vesihöyryn kriittisen osapaineen käyttäytymisestä eri lämpötila-alueilla. Se on nimetty saksalaisen fyysikon Rudolf Clausiuksen (1822–1888) ja ranskalaisen insinöörin ja fyysikon Benoît Paul Émile Clapeyronin (1799–1864) mukaan ja on läheistä sukua termodynamiikassa tärkeille Clausius–Clapeyron-relaatioille. Laki ei differentiaaliyhtälönä anna suoraan tietoja kriittisen osapaineen arvoista, vaan vasta sitä integroimalla kokeellista havainnoista saatavien rajaehtojen yli voidaan päästä käytännön kannalta oleellisiin arvoiin.

Yhtälön matemaattinen muotoilu on

missä on kyllästysvesihöyrynpaine (engl. saturated), lämpötila kelvinasteina, veden (tai jään) haihtumislämpö (toiselta nimeltään latentti energia) sekä vesihöyryn kaasuvakio 461 J/(kg K).

Fysikaalinen perusta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Haihdunta on lämpötilasta (oikeammin molekyylien kineettisestä energiasta), haihduttavan rajapinnan laadusta ja pintailman kyllästysvajauksesta riippuva prosessi, jota tilastollisesti kuvaa eräänlainen Maxwellin–Boltzmannin jakauma:

missä on haihdunta, ja ovat vakioita, yksittäisen, juuri ja juuri haihtumaan kykenevän vesimolekyylin energia, vesihöyryn tiheys, vesimolekyylien lukumäärätiheys rajapinnan läheisyydessä, Boltzmannin vakio, pinnan lämpötila sekä termi, joka kuvaa molekulaarisen diffuusion aiheuttamaa vesimolekyylien nettovuota takaisin nesteeseen.

Kun pinnan yllä vesihöyryn osapaine on yhtä kuin kriittinen osapaine , vallitsee dynaaminen tasapainotila haihdunnan ja tiivistymisen välillä, jolloin , ja voidaan kirjoittaa edellisen pohjalta

mikä saadaan puolittain derivoimalla lämpötilan suhteen muotoon

Toisaalta voidaan kirjoittaa ideaalikaasun tilanyhtälö muotoon (missä e on vesihöyryn osapaine), ja vertaamalla tätä vesihöyryn tilanyhtälöön saadaan, että

ja sijoittamalla aikaisempaan

Näin Clausius–Clapeyron-yhtälö on lähes kokonaan perusteltavissa Maxwell–Boltzmannin vauhtijakauman sekä ilmakehän perusyhtälöiden avulla.