Clausius–Clapeyronin yhtälö

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Veden höyrynpaine lämpötilan funktiona. Clausius-Clapeyronin yhtälöllä voi ennustaa tämän käyrän muodon.

Clausius–Clapeyronin yhtälö on meteorologiassa differentiaaliyhtälö, jonka avulla voidaan tehdä ennustuksia kyllästyneen vesihöyryn höyrynpaineen eli vesihöyryn kriittisen osapaineen käyttäytymisestä eri lämpötila-alueilla. Se on nimetty saksalaisen fyysikon Rudolf Clausiuksen (1822–1888) ja ranskalaisen insinöörin ja fyysikon Benoît Paul Émile Clapeyronin (1799–1864) mukaan ja on läheistä sukua termodynamiikassa tärkeille Clausius–Clapeyron-relaatioille. Laki ei differentiaaliyhtälönä anna suoraan tietoja kriittisen osapaineen arvoista, vaan vasta sitä integroimalla kokeellista havainnoista saatavien rajaehtojen yli voidaan päästä käytännön kannalta oleellisiin arvoiin.

Yhtälön matemaattinen muotoilu on

\frac{\textrm{d}e_s(T)}{\textrm{d}T} = \frac{L e_s}{R_v T^2},

missä e_s on kyllästysvesihöyrynpaine (engl. saturated), T lämpötila kelvinasteina, L veden (tai jään) haihtumislämpö (toiselta nimeltään latentti energia) sekä R_v vesihöyryn kaasuvakio 461 J/(kg K).

Fysikaalinen perusta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Haihdunta on lämpötilasta (oikeammin molekyylien kineettisestä energiasta), haihduttavan rajapinnan laadusta ja pintailman kyllästysvajauksesta riippuva prosessi, jota tilastollisesti kuvaa eräänlainen Maxwellin–Boltzmannin jakauma:

E=A \exp \left(-\frac{L\rho}{mk_B T}\right)-Be

missä E on haihdunta, A ja B ovat vakioita, L\rho/m yksittäisen, juuri ja juuri haihtumaan kykenevän vesimolekyylin energia, \rho vesihöyryn tiheys, m vesimolekyylien lukumäärätiheys rajapinnan läheisyydessä, k_B Boltzmannin vakio, T pinnan lämpötila sekä -Be termi, joka kuvaa molekulaarisen diffuusion aiheuttamaa vesimolekyylien nettovuota takaisin nesteeseen.

Kun pinnan yllä vesihöyryn osapaine on yhtä kuin kriittinen osapaine e_s, vallitsee dynaaminen tasapainotila haihdunnan ja tiivistymisen välillä, jolloin E=0, ja voidaan kirjoittaa edellisen pohjalta

e_s = \frac{A}{B}\exp \left(-\frac{L\rho}{mk_B T}\right),

mikä saadaan puolittain derivoimalla lämpötilan suhteen muotoon

\frac{\textrm{d}e_s}{\textrm{d}T} = \frac{A}{B}\frac{L\rho}{mk_B T^2}\exp \left(-\frac{L\rho}{mk_B T}\right) = \frac{L\rho}{mk_B T^2}e_s

Toisaalta voidaan kirjoittaa ideaalikaasun tilanyhtälö pV = nRT = nN_Ak_B T muotoon e=mk_B T (missä e on vesihöyryn osapaine), ja vertaamalla tätä vesihöyryn tilanyhtälöön e=\rho R_vT saadaan, että

R_v = \frac{mk_B}{\rho}

ja sijoittamalla aikaisempaan

\frac{\textrm{d}e_s}{\textrm{d}T} = \frac{Le_s}{R_v T^2}.

Näin Clausius–Clapeyron-yhtälö on lähes kokonaan perusteltavissa Maxwell–Boltzmannin vauhtijakauman sekä ilmakehän perusyhtälöiden avulla.