Cauchyn integraalikaava

Cauchyn integraalikaava on funktioteorian tulos, jolla pystyy laskemaan analyyttisen funktion arvon annetun alueen sisäpisteissä, jos funktion arvot tunnetaan alueen reunalla.

Formaalisti: Olkoon $f$ analyyttinen alueessa $A$ ja $D$ kiekko, jonka sulkeuma sisältyy $A$:han. Tällöin kaikilla $z\in D$

$f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}$ d$\xi$.

Cauchyn integraalikaavasta seuraa, että analyyttinen funktio on äärettömän monta kertaa derivoituva. n:nnelle derivaatalle voidaan johtaa esitys

$f^{(n)}(z)={n! \over 2\pi i}\oint _{\partial D}{f(\xi ) \over (\xi -z)^{n+1}}\,d\xi .$

Näitä kaavoja voidaan käyttää hyväksi residylauseen todistamisessa.

Kirjallisuutta

• Spiegel, Murray R.; Lipschutz, Seymour; Schiller, John J.; Spellman, Dennis: Complex Variables. (Shaum's Outline Series) McGraw-Hill Book Company, 2009 (1964). ISBN 978-0-07-161569-3 Teoksen verkkoversio.