Bimediaani

Kohteesta Wikipedia
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
Bimediaanit (siniset) voivat leikata toisensa kohtisuoraan, jos lävistäjät (punaiset) ovat yhtä pitkät. Vihreä nelikulmio on Varignonin suunnikas.

Bimediaani (engl. bimedian) on geometriassa jana, joka yhdistää nelikulmion tai tetraedrin vastakkaisten sivujen keskipisteet toisiinsa. Sen lähin vastine kolmiossa on mediaani eli keskijana, joka yhdistää sivun keskipisteen kolmion kärkeen. Suomalaisessa geometriassa bimediaania käsitellään harvoin eikä sille ole vielä suomalaista nimitystä.[1]

Nelikulmio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Bimediaanit puolittavat toisensa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pierre Varignon on todistanut, että bimediaanit puolittavat aina toisensa. Kun bimediaanien päätepisteiden kautta piirretään nelikulmio, ovat bimediaanit sen lävistäjiä. Koska vain suunnikkaalla on lävistäjiään puolittava ominaisuus, on nelikulmio aina suunnikas. Nelikulmiota kutsutaankin Varignonin suunnikkaaksi.[2]

Bimediaanien leikkauspiste ja Newtonin suora[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Bimediaanien leikkauspisteen kautta kulkee myös kolmas jana, joka piirretään yhdistämällä nelikulmion lävistäjien keskipisteet toisiinsa. Myös tämä jana puolittuu leikkauspisteessä. Viimeksi mainittua janaa kutsutaan myös nelikulmion kolmanneksi bimediaaniksi ja sen kautta kulkee Newtonin suora.[3][4]

Bimediaanien ja lävistäjien duaaliominaisuus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Seuraavilla neljällä janalla on duaalinen ominaisuus:[5]

  • Bimediaanit ovat yhtä pitkät, jos ja vain jos, lävistäjät ovat kohtisuorat.
  • Bimediaanit ovat kohtisuorat, jos ja vain jos, lävistäjät ovat yhtä pitkät.

Neljän massan painopiste[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Bimediaanien leikkauspiste on myös painopiste neljälle samanpainoiselle massalle, jotka ovat nelikulmion kärjissä. Lisäksi myös Varignonin suunnikkaan oma painopiste yhtyy tähän painopisteeseen.[3][6][7][8]

Tetraedri[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Epäsäännöllisen tetraedrin kuuden särmän keskipisteet voidaan yhdistää kolmella bimediaanilla, jotka leikkaavat toisensa yhteisessä pisteessä.[1] Taso, joka leikkaa tetraedrin kahtia pitkin yhtä bimediaania, jakaa tetraedrin tilavuuden kahteen puolikkaaseen.[9]

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b Weisstein, Eric W.: Bimedian (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  2. Weisstein, Eric W.: Varignon's Theorem (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  3. a b Cut the Knots: Bimedians in a Quadrilateral - What is this about?
  4. Cource E: 7 th Chapter: Properties of 2-D figures, s.413, York Catholic
  5. Cut the Knots: Bimedians and Diagonals
  6. Weisstein, Eric W.: Geometric Centroid (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  7. Compendium Geometry: Varignon parallelogram
  8. Mobile Activity.notebook
  9. Weisstein, Eric W.: Tetrahedron (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)