Aritmeettinen sarja

Aritmeettinen sarja on ääretön summalauseke, jonka jokaisen kahden peräkkäisen termin erotus on vakio. Aritmeettisen sarjan termit siis muodostavat aritmeettisen jonon. Esimerkki aritmeettisesta sarjasta on $1+2+3+4+\dots$, jossa termien välinen vakioerotus on 1. Toinen esimerkki on $2{,}0+1{,}5+1{,}0+0{,}5+\dots$, jossa vakioerotus on −0,5).

Aritmeettisen sarjan summa

Sarja $0+0+0+\dots$ on ainoa suppeneva aritmeettinen sarja. Sarjan summa on 0. Kaikilla muilla aritmeettisilla sarjoilla on epäoleellinen raja-arvo $\pm \infty$, eli sarjat hajaantuvat.

Lausekkeita aritmeettiselle sarjalle

• n:s termi: $a_{n}=a_{1}+(n-1)d\qquad {\mbox{(1)}}\,\!$, missä d = peräkkäisten termien erotus

• Ensimmäisten n termin summa: $S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{n}$

$={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}$ $={\frac {n(2a_{1}+(n-1)d)}{2}}$

Todistus 1: Geometrisesti S_n on kolmiomaisen alueen ala, joka koostuu pylväistä, joiden korkeus on a_n ja leveys 1. Tämä johtaa triviaalisti kaavaan $S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}$.

Todistus 2: Kirjoitetaan S_n kahdella eri tavalla käyttäen kaavaa (1):

$S_{n}=(a_{1})+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\dots +(a_{1}+(n-2)d)+(a_{1}+(n-1)d)\qquad {\mbox{(2)}}$

$S_{n}=(a_{n}-(n-1)d)+(a_{n}-(n-2)d)+\dots +(a_{n}-2d)+(a_{n}-d)+(a_{n})\qquad {\mbox{(3)}}$

Lasketaan yhteen (2) + (3), jolloin kaikki d:t kumoutuvat pois:

$2S_{n}=n(a_{1}+a_{n})\,\!$

$\Rightarrow \ S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}$.

□

Aritmeettisen sarjan summalle $S_{n}$ kaikilla $n$:n arvoilla pätee:

$S_{3n}=3(S_{2n}-S_{n})$

Katso myös

• Geometrinen sarja

Lähteet

Viitteet

Kirjallisuutta

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.

Aiheesta muualla

• Alkulukujen esiintyminen aritmeettisina jonoina