Vuorotteleva sarja

Vuorotteleva sarja tarkoittaa matematiikassa sellaista sarjaa, jonka termit ovat vuorotellen positiivisia ja negatiivisia. Täsmällisemmin määriteltynä vuorotteleva sarja on muotoa

$S=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}\,a_{k}=a_{1}-a_{2}+a_{3}-a_{4}+\ldots$

oleva sarja, missä $\,a_{k}>0\,\,$ jokaisella $\,k=1,2,\ldots$

Vuorotteleva sarja suppenee, jos sen osasummien

$S_{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}a_{k}=a_{1}-a_{2}+\ldots +a_{n}$

muodostama jono $(S_{n})_{n=0}^{\infty }$ suppenee.

Leibnizin kriteerio

Leibnizin kriteerio, toiselta nimeltään Leibnizin testi vuorotteleville sarjoille, antaa riittävän ehdon vuorottelevan sarjan suppenemiselle. Sen ehdot ovat yksinkertaiset eikä niiden tarkasteleminen vaadi osasummien laskemista.

Lause: Sarja

$S=u_{1}-u_{2}+u_{3}-\ldots +u_{2n-1}-u_{2n}+\ldots ,$

jonka termit ovat vuorotellen positiivisia ja negatiivisia, on varmasti suppeneva jos termien itseisarvot lakkaamatta pienenevät ja niiden raja-arvona on 0, siis

$u_{0}>u_{1}>u_{2}>\ldots >u_{n}>\ldots >0,\;{\text{ja }}\;\lim _{k\to \infty }a_{k}=0.$

Todistus: Oletetaan, että positiiviterminen jono $(u_{k})$ suppenee monotonisesti kohti lukua 0. Jos yhdistämme sarjan $S$ termit kaksittain

$S=(u_{1}-u_{2})+(u_{3}-u_{4})+\ldots +(u_{2k-1}-u_{2k}\ldots ),$

niin kaikki suluissa olevat summat ovat positiivisia ja saamme osasummille epäyhtälöketjun

$S_{2}<S_{4}<S_{6}\ldots <S_{2n}<\ldots .$

Jos taasen yhdistämme sarjan termit toisella tavalla, saamme

$S=u_{1}-(u_{2}-u_{3})-(u_{4}-u_{5})-\ldots .$

Jälleen suluissa olevat summat ovat positiivisia ja päädymme tulokseen

$S_{1}>S_{3}>S_{5}>\ldots >S_{2n-1}>\ldots .$

Yhtälöstä

$S_{2n}-S_{2n-1}=-u_{2n}$

seuraa edelleen, että

$S_{2n-1}>S_{2n},$

oli summausindeksi $n$ mikä hyvänsä. Lopulta, koska oletimme ehdon $\lim _{n\to \infty }u_{n}=0$ olevan voimassa, saamme

$\lim _{n\to \infty }S_{2n}-S_{2n-1}=0.$

Näin ollen meillä on kasvava lukujono ja vähenevä lukujono, joista toinen on aina toista suurempi ja joiden yleisten termien raja-arvon erotus lähenee lukua 0, joten lukujonot suppenevat kohti yhteistä raja-arvoa $S$. Alun oletuksilla siis osasummien muodostama lukujono $S_{n}$ suppenee ja

$\lim _{n\to \infty }S_{n}=S.$

Sarjan summan arvioiminen

Vuorottelevan sarjan summaa $S$ voidaan arvioida laskemalla sarjan osasummia $S_{n}$. Jos sarjan termit ovat monotonisesti väheneviä, voidaan virhetermin suuruutta arvioida ensimmäisestä summasta poisjätetystä termistä, sillä

$S-S_{n}=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}u_{k}-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}u_{k}=\sum _{k=n+1}^{\infty }(-1)^{k-1}u_{k}=u_{n+1}-(u_{n+2}-u_{n+3})-(u_{n+4}-u_{n+5})-\ldots \leq u_{n+1}$

ja näin saadaan virhetermille arvio

$|R_{n}|=|S-S_{n}|=|\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}u_{k}-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}u_{k}|\leq |u_{n+1}|$

Itseisesti suppeneva sarja

Sarja $\sum u_{k}$ on itseisesti suppeneva, jos sarja $\sum |u_{k}|$ suppenee.

Lause: Itseisesti suppeneva sarja suppenee myös tavallisessa mielessä.

Todistus: Oletetaan, että sarja $\sum u_{k}$ suppenee itseisesti. Tällöin sarjat $\sum |u_{k}|$ ja $\sum 2|u_{k}|$ suppenevat.

Koska epäyhtälöt

$0\leq u_{k}+|u_{k}|\leq 2|u_{k}|$

ovat aina voimassa, niin majoranttiperiaatteen mukaan myös sarja $\sum u_{k}+|u_{k}|$ suppenee.

Näin ollen $\sum a_{k}$ suppenee kahden suppenevan sarjan erotuksena, sillä

$\sum a_{k}=\sum (a_{k}+|a_{k}|)-\sum |a_{k}|.$

Itseisesti suppenevan sarjan termit voidaan järjestään uudelleen, jolloin sarja pysyy suppenevana ja summa muuttumattomana.

Ehdollinen suppeneminen

Sarja suppenee ehdollisesti, jos se suppenee, mutta ei suppene itseisesti. Esimerkiksi sarja

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}$

suppenee Leibnizin kriteerion perusteella, mutta ei suppene itseisesti, sillä harmoninen sarja $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}$ hajaantuu.

Ehdollisesti suppenevan sarjan termien järjestystä ei voi muuttaa, minkä näkee seuraavasta esimerkistä.

$\ln(2)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\ldots .$

Järjestetään termit uudelleen seuraavasti:

${\begin{aligned}&{}\quad \left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots \right)={\frac {1}{2}}\ln(2),\end{aligned}}$

jolloin päädyttäisiin tulokseen

$\ln(2)={\frac {1}{2}}\ln(2),$

mikä luonnollisestikaan ei pidä paikkaansa.

Katso myös

• Sarja (matematiikka)
• Harmoninen sarja

Kirjallisuutta

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.