Vuorotteleva sarja

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Vuorotteleva sarja tarkoittaa matematiikassa sellaista sarjaa, jonka termit ovat vuorotellen positiivisia ja negatiivisia. Täsmällisemmin määriteltynä vuorotteleva sarja on muotoa

S = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1}\,a_k = a_1 - a_2 + a_3 -a_4 + \ldots

oleva sarja, missä  \,a_k >0 \, \, jokaisella \, k = 1,2, \ldots

Vuorotteleva sarja suppenee, jos sen osasummien

 S_n = \sum_{k= 1}^{n}(-1)^{k-1} a_k = a_1 - a_2 + \ldots + a_n

muodostama jono  (S_n)_{n=0}^{\infty} suppenee.

Leibnizin kriteerio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Leibnizin kriteerio, toiselta nimeltään Leibnizin testi vuorotteleville sarjoille, antaa riittävän ehdon vuorottelevan sarjan suppenemiselle. Sen ehdot ovat yksinkertaiset eikä niiden tarkasteleminen vaadi osasummien laskemista.

Lause: Sarja

 S = u_1 - u_2 + u_3 - \ldots + u_{2n-1} - u_{2n} + \ldots,

jonka termit ovat vuorotellen positiivisia ja negatiivisia, on varmasti suppeneva jos termien itseisarvot lakkaamatta pienenevät ja niiden raja-arvona on 0, siis

 u_0 > u_1 > u_2 > \ldots > u_n > \ldots > 0, \; \text{ja } \; \lim_{k \to \infty} a_k = 0 .

Todistus: Oletetaan, että positiiviterminen jono  (u_k) suppenee monotonisesti kohti lukua 0. Jos yhdistämme sarjan  S termit kaksittain

 S = (u_1 - u_2) + (u_3-u_4) + \ldots + (u_{2k-1} - u_{2k} \ldots),

niin kaikki suluissa olevat summat ovat positiivisia ja saamme osasummille epäyhtälöketjun

 S_2 < S_4 < S_6 \ldots < S_{2n} < \ldots .

Jos taasen yhdistämme sarjan termit toisella tavalla, saamme

 S = u_1  - (u_2 - u_3)  - (u_4 - u_5) - \ldots .

Jälleen suluissa olevat summat ovat positiivisia ja päädymme tulokseen

 S_1 > S_3 > S_5 > \ldots > S_{2n-1}> \ldots .

Yhtälöstä

 S_{2n} - S_{2n-1} = -u_{2n}

seuraa edelleen, että

 S_{2n-1} > S_{2n},

oli summausindeksi  n mikä hyvänsä. Lopulta, koska oletimme ehdon  \lim_{n \to \infty} u_n  = 0 olevan voimassa, saamme

  \lim_{n \to \infty} S_{2n} - S_{2n-1} = 0.

Näin ollen meillä on kasvava lukujono ja vähenevä lukujono, joista toinen on aina toista suurempi ja joiden yleisten termien raja-arvon erotus lähenee lukua 0, joten lukujonot suppenevat kohti yhteistä raja-arvoa  S . [1] Alun oletuksilla siis osasummien muodostama lukujono  S_n suppenee ja

 \lim_{n \to \infty} S_n = S.

Sarjan summan arvioiminen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Vuorottelevan sarjan summaa  S voidaan arvioida laskemalla sarjan osasummia  S_n . Jos sarjan termit ovat monotonisesti väheneviä, voidaan virhetermin suuruutta arvioida ensimmäisestä summasta poisjätetystä termistä, sillä

 S - S_n = \sum_{k =1}^{\infty}(-1)^{k-1} u_k - \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} u_k = \sum_{k=n+1}^\infty (-1)^{k-1} u_k = u_{n+1} - (u_{n+2} - u_{n+3}) - (u_{n+4} - u_{n+5}) - \ldots \leq u_{n+1}

ja näin saadaan virhetermille arvio

 |R_n| = |S - S_n |  = |\sum_{k =1}^{\infty}(-1)^{k-1} u_k - \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} u_k| \leq |u_{n+1}|

Itseisesti suppeneva sarja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sarja  \sum u_k on itseisesti suppeneva, jos sarja   \sum |u_k| suppenee.

Lause: Itseisesti suppeneva sarja suppenee myös tavallisessa mielessä.

Todistus: Oletetaan, että sarja  \sum u_k suppenee itseisesti. Tällöin sarjat  \sum |u_k| ja  \sum 2 |u_k| suppenevat.

Koska epäyhtälöt

 0 \leq u_k + |u_k| \leq 2 |u_k|

ovat aina voimassa, niin majoranttiperiaatteen mukaan myös sarja  \sum u_k + |u_k| suppenee.

Näin ollen    \sum a_k suppenee kahden suppenevan sarjan erotuksena, sillä

 \sum a_k = \sum (a_k + |a_k|) - \sum |a_k|.

Itseisesti suppenevan sarjan termit voidaan järjestään uudelleen, jolloin sarja pysyy suppenevana ja summa muuttumattomana.[2]

Ehdollinen suppeneminen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sarja suppenee ehdollisesti, jos se suppenee, mutta ei suppene itseisesti. Esimerkiksi sarja

 \sum_{k = 1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k}

suppenee Leibnizin kriteerion perusteella, mutta ei suppene itseisesti, sillä harmoninen sarja  \sum_{k = 1}^\infty \frac{1}{k} hajaantuu.

Ehdollisesti suppenevan sarjan termien järjestystä ei voi muuttaa, minkä näkee seuraavasta esimerkistä.

 \ln (2) = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} +  \ldots .

Järjestetään termit uudelleen seuraavasti:

 \begin{align} 
& {} \quad \left(1-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{10}\right)-\frac{1}{12}+\cdots \\[8pt]
& = \frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{10}-\frac{1}{12}+\cdots \\[8pt]
& = \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots\right)= \frac{1}{2} \ln(2),
\end{align}

jolloin päädyttäisiin tulokseen

 \ln (2) = \frac{1}{2} \ln (2),

mikä luonnollisestikaan ei pidä paikkaansa.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Lindelöf, Ernst (1967). Johdatus korkeampaan analyysiin. Porvoo: Werner Söderström osakeyhtiö, 200. 
  2. Myrberg, Lauri (1975). Differentiaali- ja integraalilaskenta, osa 2. Tampere: Tampereen Kirjapaino-Oy Tamprint, 46. ISBN 951-26-0994-0.