Todennäköisyyden aksioomat

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Todennäköisyysteoriassa tapahtuman A todennäköisyys P(A) määritellään yleensä siten, että todennäköisyys P toteuttaa Kolmogorovin aksioomat, jotka ovat saaneet nimensä venäläisen matemaatikon Andrei Kolmogorovin mukaan.

Olkoon kolmikko (Ω, F, P) mitta-avaruus. (Ω, F, P) on todennäköisyysavaruus, jos perusjoukko Ω on epätyhjä joukko, kokoelma F perusjoukon osajoukkoja on sigma-algebra ja todennäköisyys P: F \rightarrow \mathbb{R} on mitta ja toteuttaa seuraavat todennäköisyyden aksioomat.

Ensimmäinen aksiooma[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tapahtuman todennäköisyys on positiivinen reaaliluku, tai nolla:

P(A)\in\mathbb{R}\and P(A)\geq 0 \qquad \forall A\in F

missä F on tapahtumien joukko ja A jokin tapahtuma joukossa F.

Toinen aksiooma[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Koko perusjoukon todennäköisyys on yksi:

P(\Omega) = 1.

Kolmas aksiooma[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tätä ehtoa kutsutaan usein täysadditiivisuudeksi tai \sigma-additiivisuudeksi:

Jos tapahtumat A_1, A_2, ... A_n ovat pistevieraita (ts. erillisiä), niin niiden yhdisteen todennäköisyys on niiden todennäköisyyksien summa:
P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \sum_{i=1}^\infty P(A_i)..

Seurauksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aksioomista voidaan johtaa kaikki muut todennäköisyyden laskusäännöt, joista seuraavassa muutamia esimerkkejä.

Monotonisuus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

P(A)\leq P(B)\quad \forall A,B\in F, \quad A\subseteq B.

Tyhjän joukon todennäköisyys[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

P(\emptyset)=0.

Todennäköisyys on normeerattu mitta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

0\leq P(A)\leq 1\qquad \forall A\in F.

Todistukset[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Monotonisuus ja tyhjän joukon todennäköisyys[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Määritellään E_1=A ja E_2=B\backslash A, missä \quad A\subseteq B \text{ ja } E_i=\emptyset kaikilla i\geq 3. On helposti nähtävissä, että joukot E_i ovat pistevieraita ja E_1\cup E_2\cup\ldots=B. Siten kolmannesta aksioomasta saamme

P(A)+P(B\backslash A)+\sum_{i=3}^\infty P(\emptyset)=P(B).

Yhtälön vasen puoli muodostuu epänegatiivisista luvuista, joiden summa on P(B), joka on äärellinen. Tästä seuraa suoraan monotonisuus P(A)\leq P(B). Tyhjän joukon todennäköisyys P(\emptyset)=0 voidaan todistaa asettamalla lisäksi vastaväite: jos P(\emptyset)=a niin yhtälön vasen puoli saa vähintään arvon

\sum_{i=3}^\infty P(E_i)=\sum_{i=3}^\infty P(\emptyset)=\sum_{i=3}^\infty a = \begin{cases} 0 & \text{jos } a=0, \\ \infty & \text{jos } a>0. \end{cases}

Jos a>0, saadaan ristiriita, sillä tällöin yhtälön vasen puoli olisi ääretön, eikä P(B), joka on äärellinen. Siis a=0 ja P(\emptyset)=0.

Todennäköisyys on normeerattu mitta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ensimmäisen aksiooman nojalla

P(A)\geq 0 ja P(A^c) = 1-P(A)\geq 0, mikä sisältää väitteen.

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Pekka Tuominen: Todennäköisyyslaskenta I. Limes ry (2007).
  • Kolmogorov: Foundations of the Theory of Probability, (1933).