Otoshajonta

Otoshajonta eli otoskeskihajonta $s$ on otosvarianssin $s^{2}$ neliöjuuri, missä

$s^{2}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}{n-1}}\,\,\,\,{\ }$

ja

${\overline {x}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{n}}\,\,\,\,\,{\ }$

on tutkittavan muuttujan $x$ otoskeskiarvo.

Kun luvut $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ ovat satunnainen otos isommasta joukosta X, $s$ on harhaton estimaatti joukon X keskihajonnasta. Intuitiivisesti tämä selittyy sillä, että otoskeskiarvo ${\overline {x}}$ poikkeaa joukon X todellisesta keskiarvosta otoksen suuntaan, mikä tuottaisi keskihajonnan ($s^{2}$ yllä) kaavaan liian pienen osoittajan, mutta yhdellä pienennetty nimittäjä kompensoi tämän harhan. Jos käytettävissä olisi joukon X todellinen keskiarvo, nimittäjässä pitäisi olla n kuten yleensäkin keskihajonnan kaavassa.

Otosvarianssin harhattomuus

Todistus

Tiedetään, että satunnaismuuttujan varianssi $\operatorname {Var} (x_{i})=\sigma ^{2}=\mathbb {E} [x_{i}^{2}]-(\mathbb {E} [x_{i}])^{2}=$ $\mathbb {E} [x_{i}^{2}]-\mu ^{2}\iff \mathbb {E} [x_{i}^{2}]=\sigma ^{2}+\mu ^{2}$ ja että otoksen keskiarvon varianssi $\operatorname {Var} ({\bar {x}})={\frac {\sigma ^{2}}{n}}=\mathbb {E} [{\bar {x}}^{2}]-(\mathbb {E} [{\bar {x}}])^{2}=$ $\mathbb {E} [{\bar {x}}^{2}]-\mu ^{2}\iff \mathbb {E} [{\bar {x}}^{2}]={\frac {\sigma ^{2}}{n}}+\mu ^{2}$, missä $n$ on otoskoko.

$\mathbb {E} [s^{2}]=\mathbb {E} \left[\sum _{i=i}^{n}{\frac {(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{n-1}}\right]={\frac {1}{n-1}}\mathbb {E} \left[\sum _{i=i}^{n}(x_{i}^{2}-2x_{i}{\bar {x}}+{\bar {x}}^{2})\right]=$

${\frac {1}{n-1}}\mathbb {E} \left[\sum _{i=i}^{n}(x_{i}^{2})-\sum _{i=i}^{n}(2x_{i}{\bar {x}})+\sum _{i=i}^{n}({\bar {x}}^{2})\right]=$

${\frac {1}{n-1}}\mathbb {E} \left[\sum _{i=i}^{n}(x_{i}^{2})-2{\bar {x}}\sum _{i=i}^{n}(x_{i})+\sum _{i=i}^{n}({\bar {x}}^{2})\right]=$

${\frac {1}{n-1}}\mathbb {E} \left[\sum _{i=i}^{n}(x_{i}^{2})-2n{\bar {x}}^{2}+\sum _{i=i}^{n}({\bar {x}}^{2})\right]=$

${\frac {1}{n-1}}\left(n\mathbb {E} [x_{i}^{2}]-2n\mathbb {E} [{\bar {x}}^{2}]+n\mathbb {E} [{\bar {x}}^{2}]\right)=$

${\frac {1}{n-1}}\left(n\mathbb {E} [x_{i}^{2}]-n\mathbb {E} [{\bar {x}}^{2}]\right)=$

${\frac {1}{n-1}}\left(n(\sigma ^{2}+\mu ^{2})-n({\frac {\sigma ^{2}}{n}}+\mu ^{2})\right)=$

${\frac {1}{n-1}}\left(n\sigma ^{2}+n\mu ^{2}-\sigma ^{2}-n\mu ^{2})\right)=$

${\frac {1}{n-1}}(n-1)\sigma ^{2}=\sigma ^{2}$

Siis otosvarianssin odotusarvo on sama kuin satunnaismuuttujan varianssi, joten otosvarianssi on harhaton estimaatti.

Katso myös

• Hajontaluku