Möbiuskuvaus

Möbius-kuvaukset ovat muotoa

$f(z) = \frac{a z + b}{c z + d}$

olevia kuvauksia, missä a, b, c ja d ovat mielivaltaisia kompleksilukuja. Möbius-kuvaukset on määritelty laajennetulta kompleksitasolta itselleen. Bilineaarinen kuvaus on erikoistapaus Möbius-kuvauksesta. Möbius-kuvaukset ovat saaneet nimensä saksalaisen matemaatikon ja astronomin August Ferdinand Möbiuksen mukaan.

Määritelmä

Möbius-kuvaukset ovat muotoa

$f(z) = \frac{a z + b}{c z + d}$

olevia kuvauksia, missä a, b, c ja d ovat kompleksilukuja, jotka toteuttavat ehdon ad − bc ≠ 0. Möbius-kuvaukset on määritelty kaikkialla paitsi kun
$z = d/c.$ Ne ovat konformisia bijektioita $\overline{\C}$→$\overline{\C},$ missä $\overline{\C}$ tarkoittaa laajennettua kompleksitasoa $\mathbb{C}\cup\{\infty\}$ eli kompleksitasoa, johon on lisätty äärettömyyspiste. Laajennettua kompleksitasoa kutsutaan myös Riemannin palloksi.

Ominaisuuksia

Möbius-kuvaukset voidaan esittää yhdistettynä kuvauksena siirrosta, venytyksestä ja kierrosta sekä inversiosta, missä operaatio "siirto" on muotoa
$w=z+a$, operaatio "venytys ja kierto" on muotoa $w=az$ ja operaatio "inversio" on muotoa $w=1/z.$ Möbius-kuvaukset kuvaavat suorat ja ympyrät joko suoriksi tai ympyröiksi siten, että operaatio "inversio" saattaa muuttaa suoran ympyräksi tai päinvastoin. Konformikuvauksina Möbius-kuvaukset säilyttävät kulmat.

Kaksoissuhde

Möbius-kuvaukset säilyttävät pisteiden välisen kaksoissuhteen:
Olkoot a₁, a₂, a₃ ja a₄ kompleksilukuja, joille a_j ≠ a_k kun j ≠ k. Tällöin näiden kaksoissuhde on luku

$[a_1, a_2, a_3, a_4] = \frac{(a_1-a_2)(a_3-a_4)}{(a_1-a_3)(a_2-a_4)}.$

Jos jokin a_i = ∞ on kaksoissuhde määriteltäva raja-arvona, kun a_i → ∞.
Möbius-kuvaukset säilyttävät kaksoissuhteen, eli siis Möbius-kuvauksessa w = f(z)
[w, w₁, w₂, w₃] = [z, z₁, z₂, z₃].

Möbiuskuvaukset muodostavat ryhmän, niin sanotun Möbius-ryhmän, kuvausten yhdistämisen suhteen.

Esimerkki

Seuraavassa esimerkissä käytetään hyväksi Möbius-kuvausten ominaisuutta säilyttää pisteiden välinen kaksoissuhde:
Etsitään Möbius-kuvaus, joka vie origokeskisen yksikkökiekon D(0, 1) ylemmälle puolitasolle. Käytetään kaksoissuhdetta. Kiinnitetään yksikkökiekon reunapisteet z₁ = 1, z₂ = i, z₃ = -1 ja ylemmän puolitason reunapisteet w₁ = -1, w₂ = 0, w₃ = 1. Pisteiden kiinnityksessä on huomioitu niiden järjestys alueisiin nähden, eli kuljettaessa pisteestä z₁ pisteen z₂ kautta pisteeseen z₃ jää yksikkökiekko vasemmalle puolelle ja kuljettaessa pisteestä w₁ pisteen w₂ kautta pisteeseen w₃ jää ylempi puolitaso vasemmalle puolelle. Sopiva kuvaus saadaan ratkaisemalla w yhtälöstä

$\frac{(w-w_1)(w_2-w_3)}{(w-w_2)(w_1-w_3)} = \frac{(z-z_1)(z_2-z_3)}{(z-z_2)(z_1-z_3)}$

missä w₁, w₂, w₃, z₁, z₂ ja z₃ ovat edellä kiinnitetyt pisteet. Saamme

$\frac{(w+1)(0-1)}{(w-0)(-1-1)} = \frac{(z-1)(i+1)}{(z-i)(1+1)}$ ⇔ w(zi-i) = z-2 ⇔ $w = \frac{z-2}{i(z-1)}.$

Katso myös

• Funktioteoria
• Möbiuksen nauha
• Laajennettu kompleksitaso

Lähteet

• R. Hurri-Syrjänen: Funktioteoria 1 (Luentomuistiinpanot)
• L. Myrberg:Funktioteoria 1 ja 2, osa 1 Limes ry 1971
• http://en.wikipedia.org/wiki/Möbius_transformation (luettu 25.9.2011)
• http://en.wikipedia.org/wiki/August_Ferdinand_Möbius (luettu 25.9.2011)