Lohkomatriisi

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Matematiikassa lohkomatriisilla tarkoitetaan matriisin ositusta pienemmiksi matriiseiksi, lohkoiksi, jolloin alkuperäinen matriisi voidaan kirjoittaa näiden pienempien matriisien yhdistelmänä. Osituksen täytyy olla johdonmukainen siten, että se voidaan visualisoida jakamalla alkuperäinen matriisi lohkoihin koko matriisin läpi kulkevilla pysty- ja vaakasuorilla viivoilla. Jokainen matriisi voidaan kuvata lohkomatriisina yhdellä tai useammalla tavalla.

Esimerkki[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

 4 \times 4 -matriisi

\mathbf{P}= \begin{bmatrix}
1 & 1 & 2 & 2\\
1 & 1 & 2 & 2\\
3 & 3 & 4 & 4\\
3 & 3 & 4 & 4\end{bmatrix}

voidaan jakaa neljäksi  2 \times 2 -lohkoksi

\mathbf{P}_{11} = \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1 \end{bmatrix},   \mathbf{P}_{12} = \begin{bmatrix}
2 & 2\\
2 & 2\end{bmatrix},  \mathbf{P}_{21} = \begin{bmatrix}
3 & 3 \\
3 & 3 \end{bmatrix},  \mathbf{P}_{22} = \begin{bmatrix}
4 & 4\\
4 & 4\end{bmatrix}.

Nyt ositettu matriisi voidaan kirjoittaa muodossa

\mathbf{P} = \begin{bmatrix}
\mathbf{P}_{11} & \mathbf{P}_{12}\\
\mathbf{P}_{21} & \mathbf{P}_{22}\end{bmatrix}.

Lohkojen ei ole pakko olla keskenään samankokoisia matriiseja. Yhtä hyvin voisimme valita vaikka

\mathbf{P}_{11} = \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1 \\
3 & 3\end{bmatrix},   \mathbf{P}_{12} = \begin{bmatrix}
2 & 2\\
2 & 2\\
4 & 4\end{bmatrix},  \mathbf{P}_{21} = \begin{bmatrix}
3 & 3\end{bmatrix},   \mathbf{P}_{22} = \begin{bmatrix}
4 & 4\end{bmatrix}.

Lohkodiagonaalinen matriisi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lohkodiagonaalinen matriisi on lohkomatriisin erikoistapaus, jossa matriisin diagonaali koostuu neliömatriiseista ja sen kaikki muut alkiot ovat nollia. Lohkodiagonaalinen matriisi on aina neliömatriisi. Siis, jos \mathbf{A} on lohkodiagonaalinen matriisi, niin se voidaan kirjoittaa muodossa

\mathbf{A} = 
\begin{bmatrix}
\mathbf{A}_{1}    & 0      & \cdots & 0      \\
0      & \mathbf{A}_{2}    & \cdots & 0      \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0      & 0      & 0      & \mathbf{A}_{n}
\end{bmatrix},

missä \mathbf{A}_{k} on neliömatriisi kaikilla 1 \le k \le n.

Tämä voidaan esittää myös matriisien suorana summana: \mathbf{A}=\mathbf{A}_{1}\oplus\mathbf{A}_{2}\oplus ...\oplus\mathbf{A}_{n}.

Lohkodiagonaalisen matriisin determinantille ja jäljelle pätee:

 \operatorname{det} \mathbf{A} = \operatorname{det} \mathbf{A}_1 \times \ldots \times \operatorname{det} \mathbf{A}_n,
 \operatorname{tr} \mathbf{A} = \operatorname{tr} \mathbf{A}_1 +\cdots +\operatorname{tr} \mathbf{A}_n.

Lohkomatriisien matriisitulo[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon lohkomatriisit \mathbf{A} ja \mathbf{B}, missä \mathbf{A} on  m \times p -matriisi ja \mathbf{B} on  p \times n -matriisi, ositettu siten, että

  \mathbf{A} =
\begin{bmatrix}
\mathbf{A}_{11} & \mathbf{A}_{12} & \cdots & \mathbf{A}_{1s} \\
\mathbf{A}_{21} & \mathbf{A}_{22} & \cdots & \mathbf{A}_{2s} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\mathbf{A}_{q1} & \mathbf{A}_{q2} & \cdots & \mathbf{A}_{qs}
\end{bmatrix},

ja

 \mathbf{B} =
\begin{bmatrix}
\mathbf{B}_{11} & \mathbf{B}_{12} & \cdots & \mathbf{B}_{1r} \\
\mathbf{B}_{21} & \mathbf{B}_{22} & \cdots & \mathbf{B}_{2r} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\mathbf{B}_{s1} & \mathbf{B}_{s2} & \cdots & \mathbf{B}_{sr}
\end{bmatrix}.

Toisin sanoen, matriisin \mathbf{A} rivit on jaettu  q :hun osaan ja sarakkeet  s :ään osaan. Vastaavasti matriisin \mathbf{B} rivit on jaettu  s :ään osaan ja sarakkeet  r :ään osaan.

Nyt voidaan laskea matriisitulo \mathbf{C}=\mathbf{A}\mathbf{B}, joka on muotoa  m \times n oleva matriisi ja jossa on  q riviositusta ja  r sarakeositusta. \mathbf{C}:n lohkot saadaan laskemalla:

\mathbf{C}_{xy}=\sum_{k = 1}^s\mathbf{A}_{xk}\mathbf{B}_{ky} ,

jolloin

\mathbf{C}=\begin{bmatrix}
\mathbf{C}_{11} & \mathbf{C}_{12} & \cdots & \mathbf{C}_{1r} \\
\mathbf{C}_{21} & \mathbf{C}_{22} & \cdots & \mathbf{C}_{2r} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\mathbf{C}_{q1} & \mathbf{C}_{q2} & \cdots & \mathbf{C}_{qr}
\end{bmatrix}.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]