Jälki

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Lineaarialgebrassa n×n-neliömatriisin A jälki on määritelmän mukaan A:n päälävistäjän alkioiden summa, eli

\mathrm{tr}(A) = A_{11} + A_{22} + ... + A_{nn}\,,

missä Aij tarkoittaa A:n alkiota rivillä i ja sarakkeessa j. Jälki on siis kuvaus neliömatriisien joukosta \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \to \mathbb{C}.

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Matriisin jälki on lineaarikuvaus, eli

\mathrm{tr}(A + B) = \mathrm{tr}(A) + \mathrm{tr}(B)\,
\mathrm{tr}(rA) = r\;\mathrm{tr}(A)\,

kaikille neliömatriiseille A ja B, sekä kaikille skalaareille r \in \mathbb{C}.

Koska päädiagonaali pysyy muuttumattomana transpoosissa, on neliömatriisilla ja sen transpoosilla sama jälki:

\mathrm{tr}(A) = \mathrm{tr}(A^T)\,.

Jos A on n×m-matriisi ja B on m×n-matriisi, on

\mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA)\,,

vaikka matriisitulo ei olekaan kommutatiivinen. Edellisen nojalla jäljen sisällä olevien matriisien järjestystä voi kierrättää syklisesti

\mathrm{tr}(ABC) = \mathrm{tr}(CAB) = \mathrm{tr}(BCA)\,.

Huomaa kuitenkin, ettei useamman matriisin järjestystä voi vaihtaa mielivaltaisesti. Tärkeä relaatio vallitsee myös matriisin ominaisarvojen ja jäljen välillä. Jos \lambda_i ovat matriisin ominaisarvot, niin

\sum_{i=1}^{n} \lambda_i = \mathrm{tr}(A),

kun A on n×n-matriisi.

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.