Fareyn jono
Wikipedia
Oletetaan, että m on positiivinen kokonaisluku. Fareyn jonolla Fm tarkoitetaan tällöin niiden välillä [0,1] olevien murtolukujen kasvavaa jonoa, jotka:
- ovat supistetussa muodossa (ts. osoittajan ja nimittäjän) suurin yhteinen tekijä on 1 ja
- nimittäjä on pienempi tai yhtä suuri kuin m.
Esimerkiksi:
- F1 = {0⁄1, 1⁄1}
- F2 = {0⁄1, 1⁄2, 1⁄1}
- F3 = {0⁄1, 1⁄3, 1⁄2, 2⁄3, 1⁄1}
- F4 = {0⁄1, 1⁄4, 1⁄3, 1⁄2, 2⁄3, 3⁄4, 1⁄1}
- F5 = {0⁄1, 1⁄5, 1⁄4, 1⁄3, 2⁄5, 1⁄2, 3⁄5, 2⁄3, 3⁄4, 4⁄5, 1⁄1}
- F6 = {0⁄1, 1⁄6, 1⁄5, 1⁄4, 1⁄3, 2⁄5, 1⁄2, 3⁄5, 2⁄3, 3⁄4, 4⁄5, 5⁄6, 1⁄1}
- F7 = {0⁄1, 1⁄7, 1⁄6, 1⁄5, 1⁄4, 2⁄7, 1⁄3, 2⁄5, 3⁄7, 1⁄2, 4⁄7, 3⁄5, 2⁄3, 5⁄7, 3⁄4, 4⁄5, 5⁄6, 6⁄7, 1⁄1}
- F8 = {0⁄1, 1⁄8, 1⁄7, 1⁄6, 1⁄5, 1⁄4, 2⁄7, 1⁄3, 3⁄8, 2⁄5, 3⁄7, 1⁄2, 4⁄7, 3⁄5, 5⁄8, 2⁄3, 5⁄7, 3⁄4, 4⁄5, 5⁄6, 6⁄7, 7⁄8, 1⁄1}
[muokkaa] Fareyn jonojen historiaa
Fareyn jonot on nimetty brittiläisen mineralogin (kidetutkijan) John Fareyn mukaan. Hänen näitä jonoja koskeva kirjoitelmansa julkaistiin lehdessä nimeltä Philosophical Magazine vuonna 1816. Farey esitti väittämän, että jonon kukin jäsen voidaan laskea sen lähimpien naapurien ns. medianttina ts. jakamalla näiden lukujen osoittajien summa niiden nimittäjien summalla. Farey ei kuitenkaan tiettävästi itse todistanut väittämäänsä. Todistuksen esitti ensimmäisenä Cauchy kirjassaan Exercises de mathématique. Saman tuloksen oli kuitenkin esittänyt toinen matemaatikko C. Haros jo vuonna 1802. Harosin artikkeli ei kuitenkaan liene ollut Fareyn tai Cauchyn tiedossa. On siis lähinnä historiallinen sattuma, että jonot kantavat edelleen Fareyn nimeä.
