Ellipsirata

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Tämä artikkeli käsittelee lähinnä Aurinkokunnan kappaleiden liikettä. Maan keinotekoisten satelliittien liikettä käsittelee artikkeli kiertorata
Aurinkoa (A) kiertävän planeetan (B) ja komeetan (C) radat.

Ellipsirata on soikea rata, jossa jokin kappale kiertää toista kappaletta pitkin ellipsiä, jolla on tietty eksentrisyys eli soikeus. Keskuskappale on se kappale jota yleensä pienempi kappale, kiertolainen kiertää. Maa kiertää Aurinkoa ellipsiradalla, joka on lähes ympyrä, sillä se ei ole kovin soikea. Sanotaan, että Aurinko on planeetta Maan keskustähti, sillä tähdet ovat aurinkoja. Käytännössä Maa-Aurinko -parilla on 2 ellipsirataa, sillä Maa huojuttaa Aurinkoa jota se kiertää lähes ympyrämäisellä ellipsiradalla, hyvin pientä ellipsiä pitkin. Nämä ellipsit kiertävät yhteistä painopistettä. Käytännössä näiden ellipsien summa kuvataan yhtenä ellipsinä.

Ratamekaniikkaa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Suljetun, ellipsimäisen kiertoradan muodon, koon ja suunnan määrittämiseen tarvitaan kuusi riippumatonta muuttujaa, esimerkiksi tieto kappaleen paikka- ja nopeusvektorista tietyllä hetkellä (kaksi kolmiulotteisen avaruuden vektoria muodostaa kuusi muuttujaa). Ellipsiradan tapauksessa käytetään yleensä Johannes Keplerin elementtejä: ellipsin isoakselin puolikkaan pituus, eksentrisyys, inklinaatio eli kulma johonkin vertailutasoon verrattuna, nousevan solmun pituus, periapsin argumentti, periapsisaika.

Periapsis on kiertoradan matalin kohta ja vastaavasti apoapsis on korkein. Gravitaatiovoimien takia kappale kulkee sitä suuremmalla nopeudella mitä lähempänä se on kiertämäänsä kappaletta.

Periheli ja apheli[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ellipsiradan lähin piste on peri- ja kaukaisin ap-/apo-. Lisäksi kuvataan se kappale, josta peri tai ap/apo on otettu:

  • Maa: perigeum ja apogeum (esimerkiksi satelliitin ellipsiradan lähin ja kaukaisin piste)
  • Aurinko: periheli ja apheli (esimerkiksi planeetan Aurinkoa lähin ja kaukaisin piste)
  • Tähti: periastroni ja apoastroni
  • Mielivaltainen taivaankappale: periapsis ja apoapsis.

Kiertoaika ellipsiradalla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tavallinen on tapaus, jossa hyvin pienimassainen kappale kiertää valtavan massiivista kappaletta. Tällöin pienen kappaleen vaikutus isompaan voidaan useasti unohtaa ja kirjoittaa yksinkertaisempia yhtälöitä. Kiertoaika lasketaan seuraavalla kaavalla:

T={2\pi\over{\sqrt{G\cdot M}}}a^{3\over{2}},

jossa

  • T = kiertoaika
  • a = kappaleiden keskietäisyys
  • G = gravitaatiovakio
  • M = suuren kappaleen massa

Tämä yhtälö selittää Keplerin aikoinaan huomaaman Keplerin kolmannen lain, jonka mukaan planeettojen kiertoaikojen neliöt suhtautuvat toisiinsa kuin niiden isoakselin puolikkaiden kuutiot.

Ratanopeus ellipsiradalla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

v=\sqrt{2GM\left({1\over{r}}-{1\over{2a}}\right)}
  • v = kappaleen ratanopeus
  • r = kappaleen etäisyys
  • a = kappaleen keskietäisyys
  • G = gravitaatiovakio
  • M = keskuskappaleen massa

Kahdella samamassaisella kappaleella ei voi olla samaa rataa ja eri ratanopeutta, sillä suuremman ratanopeuden omaavalla kappaleella on enemmän liike-energiaa, jolloin kappale pyrkii keskipakovoiman ansiosta poistumaan vetovoimakentästä. Tällöin rata suurenee.

Ellipsiradan soikeus eli eksentrisyys e[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ellipsiradan soikeutta kuvataan eksentrisyydellä e, joka on ympyrälle 0. Ellipsiradalle e on aina alle 1. Planeetoille on monesti ympyrämäinen rata, jossa karkeasti e on suunnilleen 0 (ehkä e <0,1).

Planeetan paikka ellipsiradalla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Planeetan etäisyys keskuskappaleesta ellipsiradalla, kun planeetan kulmaetäisyys perihelistä tunnetaan, on[1][2][3]

r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos(\theta-\omega)}

missä

  • r = planeetan etäisyys keskuskappaleesta
  • a = planeetan radan isoakselin puolikas
  • e = planeetan radan eksentrisyys
  • \theta-\omega = perihelin ja planeetan sijainnin välinen kulma


Planeetan kulmaetäisyys ν perihelistä ja säde r saadaan laskettua, kun tunnetaan periheliaika ja planeetan nykyinen olinaika. Historiallisista syistä käytetään nelivaiheista menetelmää, jossa yhdessä tarvitaan iterointia.

1. Lasketaan planeetan keskianomalia M kaavasta
M=\frac{2\pi t}{P}
2. Lasketaan eksentrinen anomalia E numeerisesti iteroiden Kaplerin yhtälöä:
\ M=E-\epsilon\cdot\sin E
3. Lasketaan todellinen anomalia ν yhtälöstä:
\tan\frac \nu 2 = \sqrt{\frac{1+\epsilon}{1-\epsilon}}\cdot\tan\frac E 2
4. Lasketaan etäisyys auringosta eli heliosentrinen etäisyys r :
r=\frac p {1+\epsilon\cdot\cos\nu}

Ja myös[4]

 r=\frac{k^2/(G(m_1+m_2))}{1+e\cos(\theta - \omega)},

missä k on vakio. Vakio saadaan kaavasta[5]

 k=\sqrt{aG(m_1+m_2) |1-e^2|},

missä m_1 ja m_2 ovat kappaleiden massat.

Planeetan paikkavektori \bar r lasketaan kaavasta[6]

\bar r=a(\text{cos}(E)-e)\bar i +a \sqrt{1-e^2} \text{sin}(E)\bar j

eli

r_i=a(\text{cos}(E)-e)

ja

r_j=a \sqrt{1-e^2}\text{sin}(E)

ja paikkavektorin pituus eli etäisyys Auringosta on[7]

\vert\bar r\vert= a(1-e \text{cos}(E))

Planeetan todellinen eli luonnollinen anomalia \nu lasketaan jakamalla paikkavektorin komponentit r_j ja r_i keskenään ja ottamalla tästä osamäärästä käänteinen tangentti[7].

\nu=\text{arctan}(\frac{r_j}{r_i})

eli silloin

 \nu = \text{arctan}(\frac{\text{cos}(E)-e}{\text{sin}(E)\sqrt{1-e^2} } )

jossa

  • \nu = todellinen anomalia
  • a = radan isoakselin puolikas
  • E = eksentrinen anomalia
  • e = radan eksentrisyys
  • i,j = paikkavektorin komponentit, j isoakselin suuntainen

Toinen tapa lausua planeetan paikkavektori on käyttää ellipsin isoakselia \bar a ja pikkuakselia \bar b[8]

\bar r= (\text{cos}(E)-e)\bar a+\text{sin}(E)\bar b

Ellipsiradan kaltevuus eli inklinaatio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ellipsiradalla on kaltevuus eli inklinaatio i, joka tavallisesti ilmoitetaan asteina. Esim kaksoistähden inklinaatio ilmoitetaan taivaanpallon pintaa vastaan.

Ellipsiradan energia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kun kappale kiertää ellipsiradalla toista kappaletta, sen energiatasapaino vaihtelee potentiaalienergian ja liike-energian välillä. Vuoroin jompikumpi on suurempi, mutta ellipsiradan ominaisrataenergia on vakio. Jos kappale on lähellä keskuskappalettaan, sen potentiaalienergia on pieni mutta liike-energia suuri, kauempana päinvastoin. Ympyrämäisellä radalla potentiaalienergia ja liike-energia ovat tasapainossa.

{v^2\over{2}}-{\mu\over{r}}=-{\mu\over{2a}}=\epsilon<0
  • v\, kiertävän kappaleen ratanopeus
  • r\, kiertävän kappaleen etäisyys keskuskappaleesta.
  • a\, on radan isoakselin puolikas,
  • \mu\, on vakiogravitaatioparametri, μ = G*M
  • G = gravitaatiovakio
  • M = massa

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Gunnar Larsson-Leander, Jokamiehen tähtitiedettä, Gaudeamus 1975, Toinen korjattu painos, ISBN 951-662-077-9 sid, ISBN 951-662-078-7 sid., sivu 86, kaava 3.2
  2. Karttunen 2002, Johdatus taivaanmekaniikkaan, yhtälö 2.29, sivu 29
  3. Keith Burnett: Planet positions using elliptical orbits (html) Stargazing. (englanniksi)
  4. Hannu Karttunen, Tähtitieteen perusteet, Ursan julkaisuja 8, Neljäs laitos, Helsinki 2003, s. 181, kaava 6.14
  5. Johdatus taivaanmekaniikkaan, Hannu Karttunen, Ursan julkaisuja 82, Ursa Helsinki 2002, ISBN 952-532-920-8, s. 28 yhtälö 2.27
  6. Karttunen 2003, Luku 6, sivu 104 ja osin myös yhtälö 6.34 sivu 190
  7. a b Karttunen 2003, kaava 6.35 sivu 191
  8. Karttunen 2002, sivu 35, kaava 2.51