Ehrenfestin teoreema

Ehrenfestin teoreema on Paul Ehrenfestin kehittelemä menetelmä, jolla lasketaan hiukkasen observaabeleiden odotusarvojen riippuvuutta ajasta.

Yhtälöitä

Observaabelin odotusarvon aikariippuvuus yleisesti

Ehrenfestin mukaisesti observaabelin $\scriptstyle A$ odotusarvon $\scriptstyle \langle A \rangle$ riippuvuutta ajasta kuvaa yhtälö

$\frac{\partial \langle A \rangle}{\partial t} = \Big\langle \frac{\partial A}{\partial t} \Big\rangle + \frac{i}{\hbar}\langle [\hat{H},\hat{A}]\rangle$,

missä $i$ on imaginaariosa, $\scriptstyle \hbar$ Planckin vakion muunnos ja merkintä $\scriptstyle [\hat{H},\hat{A}]$ tarkoittaa Hamiltonin operaattorin $\scriptstyle \hat{H}$ ja operaattorin $\scriptstyle \hat{A}$ kommutaattoria. Hamiltonin operaattori taas kirjoitetaan muodossa $\scriptstyle H = \frac{\hat{p}^2}{2m}+V(\vec{x})$, missä siis $\scriptstyle p$ on liikemäärä, $\scriptstyle m$ massa ja $\scriptstyle V(\vec{x})$ potentiaali.

Paikan ja liikemäärän odotusarvon aikariippuvuus

Ehrenfeltin teoreeman mukaan paikan $x$ odotusarvo ajan derivaattana on

$\frac{d\langle x \rangle}{d t} = \Big\langle \frac{p}{m} \Big\rangle$

ja liikemäärän $p$ odostusarvo ajan derivaattana

$\frac{d\langle p \rangle}{d t} = - \Big\langle \frac{V(d \vec{x})}{d x} \Big\rangle$.

Aiheesta muualla

• Ehrenfest's theorem
• Proof of Ehrenfest's Theorem