Brittiläinen lippulause

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Brittiläisen lippulauseen mukaan punaisten neliöiden pinta-alojen summa on yhtä suuri kuin sinisten neliöiden pinta-alojen summa.

Brittiläinen lippulause on Euklidisen geometrian lause. Lauseen mukaan, kun valitaan piste P suorakulmion ABCD sisältä, pisteen P ja suorakulmion vastakkaisten kulmien välisten etäisyyksien neliöiden summa on yhtä suuri kuin toisen kahden suorakulmion vastakkaisen kulman ja pisteen P välisten etäisyyksien neliöiden summa.[1]

Yhtälönä siis:

AP^{2}+CP^{2}=BP^{2}+DP^{2}.\,


Lause pätee myös suorakulmion ulkopuolisiin pisteisiin, ja vielä yleisemmin Euklidisessa avaruudessa olevan pisteen etäisyyksiin avaruudessa olevan suorakulmion kulmiin. Tällöin todistus on vaikeampi havainnollistaa.

Todistus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Todistuksen kuva

Piirretään pisteestä P suorakulmion sivujen AB, BC, CD ja AD kanssa kohtisuorassa olevat suorat. Merkitään suorakulmion sivuja leikkaavat kohdat pisteillä w, x, y ja z, vieressä olevaa kuvaa vastaavilla tavoilla. Huomataan, että muodostuu suorakulmainen kolmio AwP, ja wP = Az.

Nyt Pythagoraan lauseen mukaan,

  • AP^{2} = Aw^{2} + wP^{2} = Aw^{2} + Az^{2}


Näin voimme laskea pisteen P ja suorakulmion kolmen muun kulman välisten etäisyyksien neliöt:

  • PC^{2} = wB^{2} + zD^{2},
  • BP^{2} = wB^{2} + Az^{2}, ja
  • PD^{2} = zD^{2} + Aw^{2}.


Täten:

AP^{2} + PC^{2} = (Aw^{2} + Az^{2}) + (wB^{2} + zD^{2}) = (wB^{2} + Az^{2}) + (zD^{2} + Aw^{2}) = BP^{2} + PD^{2}.\,

Nimi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yhdistyneen kuningaskunnan lippu.

Lauseen nimi tulee siitä, kun piirretään pisteestä P viivat suorakulmion kulmiin sekä todistuksessa käytettävät suorakulmion sivujen kanssa kohtisuorat viivat, lopputulos muistuttaa joidenkin mielestä Yhdistyneen kuningaskunnan lippua.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Dionysius & Lardner: The First Six Books of the Elements of Euclid 1848. H.G. Bohn.